Schach < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Beim Schachspiel kann ein Turm nur horizontal oder vertikal schlagen. Wir nehmen nun den allgemeinen Fall an, dass das Spielbrett aus [mm] n\times [/mm] n Feldern besteht.
(i) Wie viele Möglichkeiten gibt es, n einander gleiche Türme auf das Brett zu stellen, sodass keiner den anderen bedroht?
(ii) Bezeichnet [mm] A_n [/mm] die gesuchte Zahl, so könnte man wie folgt argumentieren: für einen Turm hat man [mm] n^2 [/mm] Möglichkeiten ihn zu platzieren; dieser bedroht dann eine Zeile und eine Spalte. Das Problem reduziert sich daher auf ein [mm] (n-1)\times [/mm] (n-1)-Brett mit (n-1) Türmen, so dass [mm] A_n=n^2A_{n-1}. [/mm] Dies bedeutet aber [mm] A_n=(n!)^2. [/mm] Warum ist dies nicht die gesuchte Lösung von (i)? |
Hallo,
ich rätsele mitlerweile recht lange an dieser Aufgabe.
Es geht um n einander gleiche Türme, diese sind also ununterscheidbar.
Dann kann man ein Feld auf gar keinen Fall mehrfach belegen, also im entsprechenden Urnenmodell ohne Zurücklegen.
Wie kann ich nun den Ereignisraum [mm] \Omega [/mm] klug ausdrücken?
Und vor allem wie komme ich zu einer Lösung.
Ich habe mir einfach mal für n=2,3 alle Möglichkeiten aufgemalt. Hier bleibts noch recht übersichtlich, es sind 2 und 6, was die Vermutung nahe bringt, dass entweder gilt:
[mm] A_n=n(n-1) [/mm] oder [mm] A_n=n!. [/mm] Für denn Fall n=4 habe ich bereits den Überblick verloren.
Außerdem ist mit dieser Methode ja nicht begründet, warum das so ist, sprich welche Modellvorstellung vorliegt usw.
Ich hoffe mal stark, dass wenn ich eine Lösung für (i) finde, ich auch (ii) lösen kann.
|
|
| |
|
> Beim Schachspiel kann ein Turm nur horizontal oder vertikal
> schlagen. Wir nehmen nun den allgemeinen Fall an, dass das
> Spielbrett aus [mm]n\times[/mm] n Feldern besteht.
> (i) Wie viele Möglichkeiten gibt es, n einander gleiche
> Türme auf das Brett zu stellen, sodass keiner den anderen
> bedroht?
> (ii) Bezeichnet [mm]A_n[/mm] die gesuchte Zahl, so könnte man wie
> folgt argumentieren: für einen Turm hat man [mm]n^2[/mm]
> Möglichkeiten ihn zu platzieren; dieser bedroht dann eine
> Zeile und eine Spalte. Das Problem reduziert sich daher auf
> ein [mm](n-1)\times[/mm] (n-1)-Brett mit (n-1) Türmen, so dass
> [mm]A_n=n^2A_{n-1}.[/mm] Dies bedeutet aber [mm]A_n=(n!)^2.[/mm] Warum ist
> dies nicht die gesuchte Lösung von (i)?
> Hallo,
>
> ich rätsele mitlerweile recht lange an dieser Aufgabe.
> Es geht um n einander gleiche Türme, diese sind also
> ununterscheidbar.
> Dann kann man ein Feld auf gar keinen Fall mehrfach
> belegen, also im entsprechenden Urnenmodell ohne
> Zurücklegen.
>
> Wie kann ich nun den Ereignisraum [mm]\Omega[/mm] klug ausdrücken?
> Und vor allem wie komme ich zu einer Lösung.
>
> Ich habe mir einfach mal für n=2,3 alle Möglichkeiten
> aufgemalt. Hier bleibts noch recht übersichtlich, es sind
> 2 und 6, was die Vermutung nahe bringt, dass entweder
> gilt:
> [mm]A_n=n(n-1)[/mm] oder [mm]A_n=n!.[/mm] Für denn Fall n=4 habe ich
> bereits den Überblick verloren.
> Außerdem ist mit dieser Methode ja nicht begründet,
> warum das so ist, sprich welche Modellvorstellung vorliegt
> usw.
>
> Ich hoffe mal stark, dass wenn ich eine Lösung für (i)
> finde, ich auch (ii) lösen kann.
Hallo,
im Gegensatz zum "Damenproblem" ist dieses Problem
den Türmen recht einfach. In jeder Zeile und in jeder
Spalte muss ja genau ein Turm stehen. Jeder platzierte
Turm kann also durch sein Koordinatenpaar (i,k) besch-
rieben werden, wobei i und k im Bereich von 1 bis n liegen
müssen. Jedes i und jedes k darf jeweils genau einmal
vorkommen. Ordne die n platzierten Türme z.B. der Reihen-
folge i=1,2,....,n ihrer ersten Koordinate nach an und
mach dir klar, welches kombinatorische Modell hier
passt.
Tipp: schau dir ein gelöstes Sudoku an. Wenn du
jeweils eine der neun Ziffern auswählst und jedes
dieser Felder mit einem Turm belegst, hast du
eine mögliche Turmverteilung für den Fall n=9.
Ist dein Punkt (ii) eigentlich Teil der Aufgabe oder
Teil deines (versuchten) Lösungsweges ?
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
Gut, ich habe dann für jedes i bzw. k zunächst n Möglichkeiten, danach nur noch (n-1) usw.
Ich komme zu der Vermutung, es gibt n! Möglichkeiten.
Einem Urnenmodell kann ich es noch nicht recht zuordnen, bzw den Ereignisraum aufschreiben. Es passt auch mit keiner meiner Formeln so recht.
Wie würde denn überhaupt hier ein Elementarereignis aussehen?
(ii) habe ich mir nicht selbst ausgedacht, sondern stand im Buch gleich da drunter. Warum das nicht passt, kann ich mit meinen bisherigen Überlegungen aber noch nicht begründen.
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Beim Schachspiel kann ein Turm nur horizontal oder vertikal schlagen.
Wir nehmen nun den allgemeinen Fall an, dass das Spielbrett aus
[mm] n\times [/mm] n Feldern besteht.
(i) Wie viele Möglichkeiten gibt es, n einander gleiche Türme auf das
Brett zu stellen, sodass keiner den anderen bedroht?
(ii) Bezeichnet [mm] A_n [/mm] die gesuchte Zahl, so könnte man wie folgt argu-
mentieren: für einen Turm hat man [mm] n^2 [/mm] Möglichkeiten ihn zu
platzieren; dieser bedroht dann eine Zeile und eine Spalte.
Das Problem reduziert sich daher auf ein [mm] (n-1)\times [/mm] (n-1)-Brett
mit (n-1) Türmen, so dass [mm] A_n=n^2A_{n-1}. [/mm] Dies bedeutet aber [mm] A_n=(n!)^2. [/mm]
Warum ist dies nicht die gesuchte Lösung von (i)? |
> Gut, ich habe dann für jedes i bzw. k zunächst n
> Möglichkeiten, danach nur noch (n-1) usw.
> Ich komme zu der Vermutung, es gibt n! Möglichkeiten.
Klar !
> Einem Urnenmodell kann ich es noch nicht recht zuordnen,
> bzw den Ereignisraum aufschreiben.
Leg in die Urne Kugeln mit den Zahlen von 1 bis n.
Ziehe ohne zurücklegen nacheinander alle Kugeln.
Die Nummer k der i-ten gezogenen Kugel bestimmt,
in welche Spalte der Turm auf der i-ten Zeile gestellt
werden soll.
> Wie würde denn überhaupt hier ein Elementarereignis
> aussehen?
>
> (ii) habe ich mir nicht selbst ausgedacht, sondern stand im
> Buch gleich da drunter.
Ich hab mir das nochmals angeschaut (siehe oben),
und nun verstehe ich die Frage auch.
Eigentlich sollen die Türme ja ununterscheidbar sein.
Die Rechnung nach (ii) liefert aber die Anzahl der
Turmverteilungsmöglichkeiten mit individuellen,
voneinander unterscheidbaren Türmen (z.B. hat
jeder eine eigene Farbe). Das gibt natürlich viel zu
viele Verteilungsmöglichkeiten. Man kann sich dann
klar machen, durch welchen Faktor man diese
Anzahl der "gefärbten" Verteilungen dividieren muss,
um die "schlichten" Verteilungen zu erhalten, wo
nur zählt, auf welchen Feldern überhaupt ein Turm
steht, unabhängig von seiner früheren Farbe.
Alles klar ?
Schönen Tag !
Al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
Gut, kapiert hab ichs soweit.
Ich will nun für Teil 1 die Menge [mm] A_n [/mm] aufschreiben, sodass [mm] |A_n|=n! [/mm] gilt.
Wenn ich nun schreibe:
[mm] A_{n}=\{(i,k)|i,k\in\{1,...,n\},i\neq k\} [/mm] dann ist das ja nicht richtig, schließlich wäre es ja möglich für ein [mm] 2\times [/mm] 2 Schachfeld die Türme so aufzustellen: (2,2), (1,1).
Irgendwie müsste [mm] A_n [/mm] doch die Menge aller Permutationen von {1,...,n} sein.
Aber wie kann ich das sauber notieren?
|
|
|
| |
|
> Gut, kapiert hab ichs soweit.
> Ich will nun für Teil 1 die Menge [mm]A_n[/mm] aufschreiben,
> sodass [mm]|A_n|=n![/mm] gilt.
> Wenn ich nun schreibe:
> [mm]A_{n}=\{(i,k)|i,k\in\{1,...,n\},i\neq k\}[/mm] dann ist das ja
> nicht richtig, schließlich wäre es ja möglich für ein
> [mm]2\times[/mm] 2 Schachfeld die Türme so aufzustellen: (2,2),
> (1,1).
>
> Irgendwie müsste [mm]A_n[/mm] doch die Menge aller Permutationen
> von {1,...,n} sein.
> Aber wie kann ich das sauber notieren?
Betrachte ein Feld mit den aufgestellten Türmen.
Die Zeilennummer sei i, die Spaltennummer sei k.
Auf der Zeile Nr. i steht genau ein Turm. Dessen
Spaltennummer k definiert den Funktionswert
einer Funktion $\ p:\ [mm] i\mapsto [/mm] k=p(i)$
Diese Funktion bildet [mm] $\{0,1,2,\,.....\,,n\}$ [/mm] in sich
selbst ab. Da auch jeder k-Wert genau einmal
auftreten muss, ist diese Funktion sogar bijektiv.
Eine Permutation der Menge [mm] $\{0,1,2,\,.....\,,n\}$
[/mm]
ist nichts anderes als eine solche bijektive
Funktion.
Du kannst die aufgestellten Türme quasi als den
Graph einer solchen Permutation (Funktion)
auffassen !
LG Al-Chw.
|
|
|
|
