Satz von der majoris. Konverg. < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:14 Di 13.01.2015 | | Autor: | Georgi |
Guten Tag!
Gern würde ich den Satz von der majorisierten Konvergenz auf dieses Integral anwenden:
[mm] \int_{a}^{\infty}\bruch{2*x}{t(\bruch{1}{t^2}+x^2)^2}\,dx\xrightarrow[t\to\infty]{}\int_{a}^{\infty}0\,dx=0, [/mm] denn
[mm] f_t(x):=\bruch{2*x}{t(\bruch{1}{t^2}+x^2)^2}\xrightarrow [t\to\infty]{}0.
[/mm]
Dabei ist a>0.
Dazu müsste ich doch erst eine Majorante von [mm] f_t [/mm] finden, die endlich integrierbar ist.
für [mm] t\ge [/mm] 1 gilt: [mm] f_t(x)\le 2/x^3=:g_1(x) [/mm] und [mm] g_1 [/mm] ist endlich integrierbar
für [mm] 00,t=1}f_t(x)=\sqrt{27}/8=:g_2(x), [/mm] also eine Konstante, sodass [mm] \int_{a}^{\infty}g_2(x)\,dx=\infty. (\max_{x>0,t=1}f_t(x) [/mm] habe ich durchs Ableiten und gleich Null setzen f'_t(x)=0 berechnet, sodass [mm] x^*=\sqrt{1/3} [/mm] und [mm] f_t(x^*)=\sqrt{27}/8)
[/mm]
Wie könnte ich [mm] f_t [/mm] besser nach oben abschätzen?
Direkt ausrechnen kann ich: [mm] \int_{a}^{\infty}f_t(x)\,dx=\bruch{1}{ta^2+\bruch{1}{t}}\xrightarrow [t\rightarrow\infty]{}0. [/mm] Doch ich würde gern das Abschätzen können.
Grüße
Georgi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Mi 21.01.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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