Satz von Tychonoff (endlich) < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen,
ich habe eine Frage zum Beweis des Satzes von Tychonoff in der endlichen Variante: Seien $X,Y$ kompakte topologische Räume. Dann ist auch $X [mm] \times [/mm] Y$ kompakt.
Einen Beweis dafür findet man beispielsweise ![[]](/images/popup.gif) hier auf Seite 28. Den Beweis verstehe ich auch, wobei mir nicht ganz klar ist, warum man [mm] $U_x [/mm] := [mm] \bigcap_{i} U_{(x,y_i)}$ [/mm] setzt. Geht das nicht auch ohne?
Was ich aber eigentlich nicht verstehe ist, warum man nicht auch anders argumentieren kann. Zum Beispiel so: Ist [mm] $(U_i)_i$ [/mm] eine offene Überdeckung von [mm] $X_1\times X_2$, [/mm] so können wir [mm] $U_i \subseteq U^{(1)}_i \times U^{(2)}_i$ [/mm] mit offenen Mengen [mm] $U_i^{(k)} \subseteq X_k$ [/mm] für $k=1,2$ schreiben. Dies folgt aus Definition der Produkttopologie. Dann bildet [mm] $\{ U_i^{(k)} | i \in I\}$ [/mm] insbesondere eine offene Überdeckung von [mm] $X_k$ [/mm] und aus deren Kompaktheit folgt, dass endliche Teilmengen [mm] $I_1, I_2 \subseteq [/mm] I$ existieren, sodass bereits [mm] $\{ U_i^{(k)} | i \in I_k\}$ [/mm] eine endliche Teilüberdeckung von [mm] $X_k$ [/mm] ist. Setzt man dann [mm] $I_0 [/mm] := [mm] I_1 \cup I_2$, [/mm] so überdeckt [mm] $\{U^{(1)}_i \times U^{(2)}_i | i \in I_0\}$ [/mm] schon ganz [mm] $X_1 \times X_2$.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Mo 23.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:15 Di 24.05.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Was ich aber eigentlich nicht verstehe ist, warum man nicht
> auch anders argumentieren kann. Zum Beispiel so: Ist
> [mm](U_i)_i[/mm] eine offene Überdeckung von [mm]X_1\times X_2[/mm], so
> können wir [mm]U_i \subseteq U^{(1)}_i \times U^{(2)}_i[/mm] mit
> offenen Mengen [mm]U_i^{(k)} \subseteq X_k[/mm] für [mm]k=1,2[/mm]
> schreiben. Dies folgt aus Definition der Produkttopologie.
> Dann bildet [mm]\{ U_i^{(k)} | i \in I\}[/mm] insbesondere eine
> offene Überdeckung von [mm]X_k[/mm] und aus deren Kompaktheit
> folgt, dass endliche Teilmengen [mm]I_1, I_2 \subseteq I[/mm]
> existieren, sodass bereits [mm]\{ U_i^{(k)} | i \in I_k\}[/mm] eine
> endliche Teilüberdeckung von [mm]X_k[/mm] ist. Setzt man dann [mm]I_0 := I_1 \cup I_2[/mm],
> so überdeckt [mm]\{U^{(1)}_i \times U^{(2)}_i | i \in I_0\}[/mm]
> schon ganz [mm]X_1 \times X_2[/mm].
Das geht nicht, da aus [mm] $U_i^{(1)} \times U_i^{(2)}$ [/mm] wesentlich groesser als [mm] $U_i$ [/mm] sein kann.
Sei ewta [mm] $U_1 [/mm] = [mm] \{ (x, y) \mid |x - y| < 1 \}$. [/mm] Dann musst du schon [mm] $U_1^{(1)} [/mm] = [mm] U_1^{(2)} [/mm] = [mm] \IR$ [/mm] waehlen, womit [mm] $U_1^{(1)} \times U_1^{(2)}$ [/mm] bereits ganz [mm] $\IR^2$ [/mm] ist.
Sobald du also irgendeine kompakte Teilmenge von [mm] $\IR^2$ [/mm] hast, und eine Ueberdeckung die [mm] $U_1$ [/mm] beinhaltet, dann bekommst du beispielsweise [mm] $I_1 [/mm] = [mm] I_2 [/mm] = [mm] \{ 1 \}$ [/mm] (da [mm] $\IR$ [/mm] ganz [mm] $\IR$ [/mm] ueberdeckt), jedoch muss [mm] $U_1$ [/mm] nicht schon die Menge ueberdecken.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:06 Do 26.05.2011 | | Autor: | marc1601 |
Danke!
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