Satz von Schwarz < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:47 Fr 28.05.2010 | | Autor: | johnyan |
| Aufgabe | [mm] f:\IR^2 \rightarrow \IR, \vektor{x \\ y} \mapsto \begin{cases} \bruch{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2}, & \mbox{für } {x \choose y} \not= {0 \choose 0} \\ 0, & \mbox{für } {x \choose y} = {0 \choose 0} \end{cases}
[/mm]
Berechnen Sie
[mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(0,0) [/mm] und [mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(0,0) [/mm] |
Also erstmal kann ich [mm] \bruch{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2} [/mm] bisschen vereinfach, indem ich minus rausziehe, das wird also zu -xy.
für (x,y) [mm] \not= [/mm] (0,0) habe ich zumindest:
[mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial x \partial y} [/mm] = -1 = [mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial y \partial x}
[/mm]
Ich darf (0,0) ja nicht einsetzen, wie mache ich denn da weiter?
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Hiho,
> Also
> erstmal kann ich [mm]\bruch{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2}[/mm] bisschen
> vereinfach, indem ich minus rausziehe, das wird also zu
> -xy.
Ok, das ist schonmal falsch!
Wenn du das Minus rausziehst, steht da:
[mm]\bruch{-xy(y^2-x^2)}{x^2+y^2}[/mm]
Und gebracht hat dir das nix......
Also können wir das auch gleich sein lassen..... nun weiter im Text.
Und für die Differenzierbarkeit in (0,0) bemühst du am besten den Differenzenquotienten 
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:23 Fr 28.05.2010 | | Autor: | johnyan |
$ [mm] \bruch{\partial f}{\partial x} [/mm] (0,0)$ = [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(h,0)-f(0,0)}{h}=0
[/mm]
wie mache ich den Differenzenquotienten für [mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial y\partial x}?
[/mm]
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> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x} (0,0)[/mm] = [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(h,0)-f(0,0)}{h}=0[/mm]
Wie kommst du darauf?
Bitte ausführlicher begründen (dann wirst du auch was überraschendes feststellen........)
>
> wie mache ich den Differenzenquotienten für
> [mm]\bruch{\partial^2 f}{\partial y\partial x}?[/mm]
Wie sieht denn [mm] \bruch{\partial f}{\partial x} [/mm] als Funktionsvorschrit aus?
Dann normal Differenzenquotient dafür anwenden bzgl y
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:03 Fr 28.05.2010 | | Autor: | johnyan |
$ [mm] \bruch{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2} [/mm] $ = $ [mm] (x^3y-xy^3)(x^2+y^2)^{-1} [/mm] $
$ [mm] \bruch{\partial f}{\partial x} [/mm] $ = [mm] (3x^2y-y^3)(x^2+y^2)^{-1}-(x^3y-xy^3)2x(x^2+y^2)^{-2}
[/mm]
sollte soweit stimmen, hoffe ich.
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Jo, das wäre für $(x,y) [mm] \not= [/mm] (0,0)$ korrekt.
Nächstemal bitte den Formeleditor benutzen, das sieht übersichtlicher aus.
Aber nun bitte noch die Ableitung in $(0,0)$ über den Differenzenquotienten ausrechnen. Ausführlich bitte!
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:38 Fr 28.05.2010 | | Autor: | johnyan |
wie meinst du das mit dem formeleditor? ich hab doch alles in TeX geschrieben oder nicht?
also, wenn ich das nachmache, wie wir das in der übung hatten, wäre es,
[mm] x_0 [/mm] = 0, [mm] y_0=0 [/mm] und dann für [mm] x-x_0 [/mm] für x und [mm] y_0 [/mm] für y einsetzen
$ [mm] \bruch{\partial f}{\partial x} [/mm] (0,0) $ = [mm] \limes_{x \rightarrow x_0} $\bruch {\bruch{((x-x_0)^3*y_0-(x-x_0)*y_0^3)}{((x-x_0)^2+y_0^2)} - 0}{x-x_0} [/mm] $
und das ist doch dann gleich null, oder?
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Hiho,
> und das ist doch dann gleich null, oder?
aha, warum?
Form doch mal um, vereinfache, setz ein, dass [mm] $x_0 [/mm] = [mm] y_0 [/mm] = 0$ und schau, was da raus kommt......
Und wenn ihr das so gemacht habt, wieso hast es dann erst mit der h-Methode gemacht?
Ist ja letztlich egal, weil bei beidem das gleiche rauskommt
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:40 Fr 28.05.2010 | | Autor: | johnyan |
$ [mm] \bruch{\partial f}{\partial x} [/mm] (0,0) $ = $ [mm] \limes_{x \rightarrow x_0} [/mm] $ $ [mm] \bruch {\bruch{((x-x_0)^3\cdot{}y_0-(x-x_0)\cdot{}y_0^3)}{((x-x_0)^2+y_0^2)} - 0}{x-x_0} [/mm] $ = [mm] \limes_{x \rightarrow x_0} [/mm] $ [mm] \bruch {\bruch{((x-0)^3\cdot{}0-(x-0)\cdot{}0^3)}{((x-0)^2+0^2)} - 0}{x-0} [/mm] $ = [mm] \limes_{x \rightarrow x_0} [/mm] $ [mm] \bruch {\bruch{0 - 0}{x^2}}{{x-0}} [/mm] $
hab eingesetzt, stimmt das so? wenn ja, ist das ergebnis nicht null?
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Doch, passt
Wie sieht nun
[mm] \partial_x{f} [/mm] nun ausführlich aufgeschrieben aus und dann leite diese Funktion partiell nach y ab. Bedenke, dass du auch hier wieder (0,0) seperat betrachten musst.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:47 Sa 29.05.2010 | | Autor: | johnyan |
$ [mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial y \partial x} [/mm] $ = [mm] \bruch{3x^2-3y^2}{x^2+y^2}-\bruch{6x^2y^2-2y^4}{(x^2+y^2)^2}-\bruch{2x^4-6x^2y^2}{(x^2+y^2)^2}+\bruch{8x^4y^2-8x^2y^4}{(x^2+y^3)^3}
[/mm]
[mm] =\bruch{3x^2-3y^2}{x^2+y^2}+\bruch{-2x^4+2y^4}{(x^2+y^2)^2}+\bruch{8x^4y^2-8x^2y^4}{(x^2+y^3)^3}
[/mm]
[mm] x_0=0=y_0
[/mm]
$ [mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial y \partial x} [/mm] (0,0) = [mm] \limes_{y \rightarrow y_0} \bruch {\bruch{(3x_0^2(y-y_0)-(y-y_0)^3)}{(x_0^2+(y-y_0)^2)} - \bruch{2x_0^4(y-y_0)-2x_0^2(y-y_0)^3}{(x_0^2+(y-y_0)^2)^2} - 0}{y-y_0} [/mm] = [mm] \limes_{y \rightarrow y_0} \bruch [/mm] {-y}{y} = -1 $
ist das so richtig? (blicke bei dem Riesenterm schon fast nicht mehr durch, hoffe, dass ich keinen Fehler gemacht habe.)
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Hiho,
also deine Ableitung an der Stelle (0,0) stimmt so weit.
Wie die Ableitung an der Stelle ungleich (0,0) aussieht, ist ja eh egal, weil dort sowieso der Satz von Schwarz gilt (warum)?
Insofern interessiert uns ja nur (0,0)
Und nun das Spielchen nochmal für die vertauschten Ableitungen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:43 Sa 29.05.2010 | | Autor: | johnyan |
aso, und dann sollte man das gleiche nochmal rausbekommen und sagen, dass hier der satz von schwarz gilt, weil diese funktion zweimal stetig partiell differenzierbar ist.
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> aso, und dann sollte man das gleiche nochmal rausbekommen
> und sagen, dass hier der satz von schwarz gilt, weil diese
> funktion zweimal stetig partiell differenzierbar ist.
Keine voreiligen Schlüße bitte..... machs doch mal und dann schau was rauskommt....... und dann begründe nochmal.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:24 Sa 29.05.2010 | | Autor: | johnyan |
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y} [/mm] (0,0) = [mm] \limes_{y \rightarrow y_0} \bruch{ \bruch {x_0^3(y-y_0)-x_0(y-y_0)^3}{x_0^2+(y-y_0)^2}-0}{y-y_0} [/mm] = [mm] \limes_{y \rightarrow y_0} \bruch{0-0}{y} [/mm] = 0
[mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial x \partial y} [/mm] (0,0) = [mm] \limes_{x \rightarrow x_0} \bruch{\bruch{(x-x_0)^3-3(x-x_0)y_0^2}{(x-x_0)^2+y_0^2}+\bruch{-2(x-x_0)^3y_0^2+2(x-x_0)y_0^4}{((x-x_0)^2+y_0^2)^2}-0}{x-x_0} [/mm] = [mm] \limes_{x \rightarrow x_0} \bruch{\bruch{x^3}{x^2}+0}{x} [/mm] =1
hmm, wenn ich richtig gerechnet habe, ist das ja anders als bei [mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial y \partial x} [/mm] (0,0), auch wenn [mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial x \partial y} [/mm] = [mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial y \partial x}, [/mm] wenn (x,y) [mm] \not= [/mm] (0,0)
kannst du mir einen tipp geben, wie das zu interpretieren ist? heißt das, dass der satz von schwarz für (x,y)=(0,0) nicht gilt und sonst schon?
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> kannst du mir einen tipp geben, wie das zu interpretieren
> ist? heißt das, dass der satz von schwarz für (x,y)=(0,0)
> nicht gilt und sonst schon?
Der Satz von Schwarz gilt immer!
Allerdings hat der ja Voraussetzungen und eine davon muss hier dann ja nicht erfüllt sein.
Welche?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:54 Sa 29.05.2010 | | Autor: | johnyan |
der satz gilt, wenn alle 2. partiellen ableitungen existieren und stetig sind.
und wenn der differentialquotient von [mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(0,0) \not= \bruch{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(0,0), [/mm] heißt es, dass die funktion an (0,0) nicht differenzierbar ist. also existieren [mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial x \partial y} [/mm] und [mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial y \partial x} [/mm] nicht für (0,0). da nicht alle 2. partiellen ableitungen existieren, gilt der satz nicht für diese funktion.
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> also existieren [mm]\bruch{\partial^2 f}{\partial x \partial y}[/mm]
> und [mm]\bruch{\partial^2 f}{\partial y \partial x}[/mm] nicht für
> (0,0). da nicht alle 2. partiellen ableitungen existieren,
> gilt der satz nicht für diese funktion.
Klar existieren die. Du hast sie doch selbst berechnet!
Aber sind sie stetig? Warum nicht?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:13 Sa 29.05.2010 | | Autor: | johnyan |
hab mich falsch ausgedrückt, die existieren schon, aber da die grenzwerte an (0,0) nicht gleich sind, sind sie nicht stetig, stimmt das so?
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Ja, denn wären sie stetig, wären sie ja gleich
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:24 Sa 29.05.2010 | | Autor: | johnyan |
vielen dank für deine mühe und zeit!
eine letzte frage noch, wenn die ersten ableitungen an (0,0) nicht stetig wären, könnte ich denn trotzdem noch die zweiten ableitungen bilden, und dann auf die voraussetzungen prüfen?
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Hiho,
das kommt drauf an: Ist die Funktion nicht stetig in y (!!), dann ist die Funktion insbesondere nicht differenzierbar in y! Und damit würde die partielle Ableitung nach y gar nicht existieren.
MFG,
Gono.
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