www.vorkurse.de
Ein Projekt von vorhilfe.de
Die Online-Kurse der Vorhilfe

E-Learning leicht gemacht.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Teams · Forum · Wissen · Kurse · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe-Vorkurse
  Status Organisatorisches
  Status Schule
    Status Wiederholung Algebra
    Status Einführung Analysis
    Status Einführung Analytisc
    Status VK 21: Mathematik 6.
    Status VK 37: Kurvendiskussionen
    Status VK Abivorbereitungen
  Status Universität
    Status Lerngruppe LinAlg
    Status VK 13 Analysis I FH
    Status Algebra 2006
    Status VK 22: Algebra 2007
    Status GruMiHH 06
    Status VK 58: Algebra 1
    Status VK 59: Lineare Algebra
    Status VK 60: Analysis
    Status Wahrscheinlichkeitst

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Uni-Stochastik" - Satz von Scheffé
Satz von Scheffé < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Stochastik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Satz von Scheffé: Schritte unklar
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:14 Mi 11.04.2012
Autor: schachuzipus

Aufgabe
Satz von Scheffé:

Seien [mm]P,P_1,P_2,\ldots[/mm] W-Maße mit Lebesguedichten [mm]p,p_1,p_2,\ldots[/mm] und gelte [mm]p_n\to p[/mm] f.s.

Dann gilt: [mm]\sup\limits_{A\in\mathcal {B}}|P_nA-PA| \ = \ \frac{1}{2}\lambda|p_n-p| \ \longrightarrow 0[/mm]



Hallo zusammen,

nun kommt der Beweis, bei dem mit 2-3 Sachen unklar sind:

Beweis: Es gilt [mm]\lambda(p_n-p)=0[/mm].

1. Für [mm]A\in\mathcal B: 2|P_nA-PA|\red{=}|\lambda 1_A(p_n-p)| \ + \ |\lambda 1_{A^c}(p_n-p)| \ \le \ \lambda|p_n-p|[/mm]. Für [mm]A=\{p_n-p\ge 0\}[/mm] gilt die Gleichheit.

2. .... [mm]\lambda|p_n-p|\red{=}2\lambda(p_n-p)^+[/mm]

Der Prof bezeichnet die Integrale [mm]\int{f \ d\mu}[/mm] mit [mm]\mu f[/mm]

In diesem Sinne ist etwa [mm]\lambda|p_n-p|[/mm] zu verstehen ...

Erste Frage zum roten "=" in 1.

Wieso steht das da?

Es ist doch [mm]2|P_nA-PA|=2|P_n1_A-P1_A|=2\left|\int{1_A \ dP_n}-\int{1_A \ dP}\right|=2\left|\int\limits_A{(p_n-p) \ d\lambda}\right|=2|\lambda 1_A(p_n-p)|[/mm]

Wie kommt er da auf die Aufsplittung in die beiden Integrale über [mm]A[/mm] und [mm]A^c[/mm] ?

Weiter ist mir die Schlussbemerkung in 1. unklar.

In 2. ist das "=" auch unklar, es ist doch $|f|=f^++f^-$ - wieso ist das hier $=2f^+$ ? (mit [mm] $f=p_n-p$) [/mm]

Für Hilfe wäre ich sehr dankbar!

Liebe Grüße

schachuzipus


        
Bezug
Satz von Scheffé: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:45 Mi 11.04.2012
Autor: donquijote


> Satz von Scheffé:
>  
> Seien [mm]P,P_1,P_2,\ldots[/mm] W-Maße mit Lebesguedichten
> [mm]p,p_1,p_2,\ldots[/mm] und gelte [mm]p_n\to p[/mm] f.s.
>  
> Dann gilt: [mm]\sup\limits_{A\in\mathcal {B}}|P_nA-PA| \ = \ \frac{1}{2}\lambda|p_n-p| \ \longrightarrow 0[/mm]
>  
>
> Hallo zusammen,
>  
> nun kommt der Beweis, bei dem mit 2-3 Sachen unklar sind:
>  
> Beweis: Es gilt [mm]\lambda(p_n-p)=0[/mm].
>  
> 1. Für [mm]A\in\mathcal B: 2|P_nA-PA|\red{=}|\lambda 1_A(p_n-p)| \ + \ |\lambda 1_{A^c}(p_n-p)| \ \le \ \lambda|p_n-p|[/mm].
> Für [mm]A=\{p_n-p\ge 0\}[/mm] gilt die Gleichheit.
>  
> 2. .... [mm]\lambda|p_n-p|\red{=}2\lambda(p_n-p)^+[/mm]
>  
> Der Prof bezeichnet die Integrale [mm]\int{f \ d\mu}[/mm] mit [mm]\mu f[/mm]
>  
> In diesem Sinne ist etwa [mm]\lambda|p_n-p|[/mm] zu verstehen ...
>  
> Erste Frage zum roten "=" in 1.
>  
> Wieso steht das da?
>  
> Es ist doch [mm]2|P_nA-PA|=2|P_n1_A-P1_A|=2\left|\int{1_A \ dP_n}-\int{1_A \ dP}\right|=2\left|\int\limits_A{(p_n-p) \ d\lambda}\right|=2|\lambda 1_A(p_n-p)|[/mm]
>  
> Wie kommt er da auf die Aufsplittung in die beiden
> Integrale über [mm]A[/mm] und [mm]A^c[/mm] ?
>  
> Weiter ist mir die Schlussbemerkung in 1. unklar.
>  
> In 2. ist das "=" auch unklar, es ist doch [mm]|f|=f^++f^-[/mm] -
> wieso ist das hier [mm]=2f^+[/mm] ? (mit [mm]f=p_n-p[/mm])
>  

Das folgt im Wesentlichen daraus, das es sich um W-Maße handelt:
[mm] |P_n(A)-P(A)|=|1-P_n(A^{c})-(1-P(A^{c}))|=|P_n(A^{c})-P(A^{c})| [/mm]

Die Schlussbemerkung gilt wegen [mm] |\lambda(p_n-p)|=\lambda(p_n-p)^{+}+\lambda(p_n-p)^{-}=\int_A|p_n-p|d\lambda+\int_{A^{c}}|p_n-p|d\lambda [/mm]

Das = in 2 folgt dann daraus mit
[mm] 0=1-1=\lambda(p_n-p)=\int_A|p_n-p|d\lambda-\int_{A^{c}}|p_n-p|d\lambda\Rightarrow\int_{A^{c}}...=\int_A [/mm]

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Stochastik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorkurse.de
[ Startseite | Mitglieder | Teams | Forum | Wissen | Kurse | Impressum ]