Satz von Rouché/Klausuraufgabe < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:48 Fr 08.07.2022 | | Autor: | nkln |
| Aufgabe | A1)
Sei [mm] $f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ [/mm] holomorph mit $f(0)=2$ und $3 < |f(z)|<4$ für alle $z [mm] \in \delta K_1(0)$.
[/mm]
Zeigen Sie, dass $f$ mindestens eine Nullstelle in [mm] $K_1(0)$ [/mm] besitzt.
A2)
Sei [mm] $g:K_3(0) \to \mathbb{C}$ [/mm] eine holomorphe Funktion
Zeigen Sie: ist $|g(z)|<4 $ für alle $ z [mm] \in \delta K_2(0)$,so [/mm] besitzt die Funktion
[mm] $h:K_3(0) \to \mathbb{C} [/mm] , z [mm] \mapsto g(z)-z^2$
[/mm]
zwei Nullstellen ( mit Vielfachheit gezählt) in [mm] $K_2(0)$. [/mm] |
Hallo,
ich weis, dass ich die beiden Aufgaben lösen kann ,in dem ich den Satz von Rouché anwende. Jedoch habe ich keine Ahnung, wie ich es mache.
ich muss ja auf die Situation gelangen $|f(z)-g(z)|<|f(z)-w|$ , wobei w meine nullstelle von $g(z)$ ist. Kann mir jemand einen Ansatz geben? Merci bien!
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> A1)
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> Sei [mm]f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}[/mm] holomorph mit [mm]f(0)=2[/mm] und [mm]3 < |f(z)|<4[/mm]
> für alle [mm]z \in \delta K_1(0)[/mm].
> Zeigen Sie, dass [mm]f[/mm]
> mindestens eine Nullstelle in [mm]K_1(0)[/mm] besitzt.
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> ich weis, dass ich die beiden Aufgaben lösen kann ,in dem
> ich den Satz von Rouché anwende. Jedoch habe ich keine
> Ahnung, wie ich es mache.
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> ich muss ja auf die Situation gelangen [mm]|f(z)-g(z)|<|f(z)-w|[/mm]
> , wobei w meine nullstelle von [mm]g(z)[/mm] ist. Kann mir jemand
> einen Ansatz geben? Merci bien!
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Ich benutze die Form: Ist auf dem Rand überall |g(z)|<|f(z)|, so haben f(z) und f(z)+g(z) im Kreis gleich viele Nullstellen.
Es geht mit "Raten und Fummeln" für g(x).
Nimm g(z)=z-2. Zeige |g(z)|<|f(z)| auf dem Rand. Zeige f(z)+g(z) hat eine Nullstelle im Kreis (na welche wohl?). (Es können auch noch andere existieren). Dann hat auch f(z) eine Nullstelle im Kreis (es muss nicht dieselbe sein).
A2)
Setze [mm] f(z)=-z^2. [/mm] Zeige |g(z)|<|f(z)| auf dem Rand von [mm] K_2(0). [/mm] Rest wie oben.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:53 So 10.07.2022 | | Autor: | nkln |
Hi,
danke für deine Antwort. Ich raffe es irgendwie nicht.
nehme ich jetzt einfach $g(z)=f(z)-2$ und setzt das dann in die Formel
$|f(z)-g(z)|<|f(z)-f(z)-2|=|-2|=2$ ein oder?
Außerdem mit deiner variante $|g(z)|<|f(z)|$
$|g(z)||=|f(z)-2|< |4-2|=2$ da $3<|f(z)|<4$
also haben $f$ und $g$ mindestens eine nullstelle in [mm] $\delta K_1(0)$ [/mm] ?
Sorry, ich verstehe einfach das verfahren nicht. Ich habe versucht dutzende Skripte im Web durch zuarbeiten ( mein eigenes eingeschlossen) und verstehe es einfach nicht...entschuldige!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:23 So 10.07.2022 | | Autor: | nkln |
Hi ,
ich habe die Aufgaben mit meiner Übungsgruppe geklärt und ich habe es verstanden! vielen Dank an @HJkweseleit für deine Hilfe!
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