Satz von Rouché < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:43 Do 22.07.2004 | | Autor: | Spink |
HI:)
Ich hab irgendwie ein Problem mit dem Satz von Rouché...
Man soll die Nullstellen von [mm] f(z)=z^4+z^2-4z+1 [/mm] im Kreisring 1<|z|<2
bestimmen...Nach welchem Schema wähle ich denn jetzt die Funktionen?
Und was muß man wegen des Kreisrings beachten?
Gruß, Spink
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:03 Do 22.07.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Spink!
Sollst du wirklich die Nullstellen in dem Kreisring bestimmen oder die Anzahl der Nullstellen?
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:17 Do 22.07.2004 | | Autor: | Spink |
Hi Julius,
hab mich da vertan, man soll natürlich die Anzahl der Nullstellen bestimmen*g*
Bin schon ganz verwirrt:/
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:54 Do 22.07.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Spink!
Naja, gut, zum Glück, denn dann ist es kein großes Problem.
Wegen
$|g(z)| := [mm] |z|^4 [/mm] = 16 > 13 = [mm] |z|^2 [/mm] + 4|z| + 1 [mm] \ge |z^2 [/mm] - 4z + 1 | = |f(z) -g(z)|$
für alle $z [mm] \in \IC$ [/mm] mit $|z|=2$ haben die beiden Funktionen
[mm] $g(z)=z^4$ [/mm] und $f(z) = [mm] z^4 [/mm] + [mm] z^2 [/mm] -4z +1$
gleich viele Nullstellen in [mm] $B_2(0) [/mm] = [mm] \{ z\in \IC\, : \, |z| < 2\}$, [/mm] also $4$ (da [mm] $z^4$ [/mm] in [mm] $z_0=0$ [/mm] eine vierfache Nullstelle besitzt).
Mit anderen Worten:
Alle $4$ Nullstellen von $f$ liegen in [mm] $B_2(0)$.
[/mm]
Weiterhin gilt:
$|g(z)| = [mm] |z|^4 [/mm] = 1 < 2 = 4|z| - [mm] |z|^2 [/mm] - 1 [mm] \le |z^2 [/mm] - 4z + 1 | = |f(z) -g(z)|$
für alle $z [mm] \in \IC$ [/mm] mit $|z|=1$. Das heißt: die beiden Funktionen
$f(z)-g(z) = [mm] z^2 [/mm] - 4z + 1$ und $f(z) = [mm] z^4 [/mm] + [mm] z^2 [/mm] - 4z + 1$
haben gleich viele Nullstellen in [mm] $B_1(0) [/mm] = [mm] \{ z\in \IC\, : \, |z| < 1\}$, [/mm] also [mm] $\red{1}$.
[/mm]
Denn [mm] $\red{z_0 = 2 - \sqrt{3}}$ [/mm] ist eine Nullstelle von [mm] $\red{f(z)-g(z)}$ [/mm] in [mm] $\red{B_1(0)}$.
[/mm]
Daher liegen [mm] $\red{3}$ [/mm] Nullstellen von $f$ in dem Kreisring [mm] $B_2(0) \setminus \overline{B_1(0)}$.
[/mm]
Einverstanden? 
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:22 Do 22.07.2004 | | Autor: | Spink |
Hi Julius:)
Das klingt alles ganz gut was du da gemacht hast:) Danke.
Mich würd nur noch interessieren, warum du gerade [mm] x^{4} [/mm] als g(x) genommen hast.
Gruß, Spink
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:24 Do 22.07.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Spink!
Mist, ich habe gerade einen Fehler gesehen und verbessere ihn gerade. Schau gleich noch mal in meinen Beitrag.
Julius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:29 Do 22.07.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Spink!
So, jetzt stimmt es (hoffentlich) wieder.
[mm] $g(z)=z^4$ [/mm] habe ich deswegen gewählt, weil dann
1) der Wert von [mm] $|g(z)|=|z|^4$ [/mm] leicht zu berechnen ist auf Kreisrändern,
2) die Nullstellen von [mm] $g(z)=z^4$ [/mm] sofort angegeben werden können.
Auf beides ist zu achten.
Liebe Grüße
Julius
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