Satz von Picard-Lindelöf < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweisen sie mittels weißingerschen Fixpunktsatz den Satz von Picard-Lindelöf.
Dazu wird wieder das AWP x'=f(x), x(0)=a für eine L-stetige Fkt.
f: [mm] \IR^{n} [/mm] -> [mm] \IR^{n} [/mm] auf einem Intervall I=(-T,T) betrachtet.
Weisen sie dazu insbesondere nach, dass die n-ten Potenzen des Integraloperators G: [mm] C(I,\IR^{n})->C(I,\IR^{n}),
[/mm]
G(x)(t)=a + [mm] \integral_{0}^{t}{f(x(s)) ds} [/mm]
die L-Konstante [mm] \bruch{(LT)^{n}}{n!} [/mm] besitzen. |
Hallo alle zusammen.
Der Beweis dieses Satzes soll mit dem Weißingerschen Fixpunktsatz bewiesen werden.
Ich muss also einen Fixpunkt von G finden, der dann natürlich Lösung des AWP wäre.
Ich habe versucht zu zeigen, dass die n-te potenz des integraloperators eben diese L-Konstante besitzt.
Leider ist mir das bisher nicht geglückt.
Ich habe versucht dies durch vollständige induktion zu machen, nur ergibt sich bei mir das Problem mit dem "n!" im nenner.
Also induktionsstart für n=0 und n=1 klappt.
Nur ist meine Abschätzung gröber, d.h. ohne das n!. wie kriege ich das n! rein?
Wäre nett wenn ihr mir helfen könntet
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:20 Sa 07.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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