Satz von Lebesque < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimme den Grenzwert [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{\Omega}{f_{n}d\mu}, [/mm] falls es existiert.
Es sei [mm] \Omega:=(0,\infty), f_{n}(x)=(1-\bruch{1}{x^n})*1_{[1,n]}(x), \mu= [/mm] Bildmaß von [mm] \lambda [/mm] unter h, [mm] h(x)=\bruch{1}{x}, h:(0,\infty)\to(0, \infty) [/mm] |
Hallo,
ich hab ein Problem mit dieser Aufgabe und brauche einen Tipp, wie weiter. Also zuerst betrachte ich das Limes von [mm] f_{n}.
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f_{n}=\limes_{n\rightarrow\infty}(1-\bruch{1}{x^n})*1_{[1,n]}(x)=\limes_{n\rightarrow\infty}1_{[1,n]}(x)=1_{[1,\infty]}(x)
[/mm]
Nach dem Satz vom Lebesque muss ich für [mm] f_{n} [/mm] eine beschränkende integrierbare Funktion finden. Und damit hab ich ein Problem. Ich nehme z.B. [mm] g_{n}=1_{(0,\infty)}(x), [/mm] dann [mm] |f_{n}|\le g_{n} [/mm] und [mm] \integral_{\Omega}{g_{n}d\mu}=\integral_{\Omega}{1_{(0,\infty)}(x)d\mu}=\integral_{\Omega}{1_{(0,\infty)}(h(x))d\lambda}=\integral_{\Omega}{1_{(0,\infty)}(\bruch{1}{x})d\lambda}=\integral_{\Omega}{1_{(0,\infty)}(x)d\lambda}=\infty
[/mm]
Jetzt weiss ich nicht, wie ich weitergehen soll. Ich kann den Satz von Lebesque nicht benutzen, da die beschränkende Funktion divergiert. Intuitiv sollte in diesem Fall [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{\Omega}{f_{n}d\mu}=\infty [/mm] sein, da der Grenzwert [mm] 1_{[1,\infty]}(x) [/mm] kann im Integral auch nicht konvergieren.
Danke für jeden Tipp.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Di 13.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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