Satz von HEINE-BOREL-LEBESGUE < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:08 Fr 29.07.2005 | | Autor: | Diirki |
Und wieder stehe ich einem kleineren Problem der Analysis (insbesondere des Teilgebiets "Topologie") gegenüber:
Ich soll den Satz von HEINE-BOREL-LEBESGUE erläutern, der da wie folgt
in meinem Script zitiert wird:
"Eine unendliche Menge K eines metrischen Raumes M ist genau dann kompakt, wenn jede unendliche Teilmenge von K einen Häufungspunkt besitzt, der zu K gehört".
Da sich der Beweis dieses Satzes über 2,5 Seiten zieht ist es doch etwas mühsam das ganze so zu verstehen, dass man es mit eigenen Worten vernünftig rüberbringen kann! Deshalb würde ich mich freuen, wenn mir jemand diesbezüglich weiterhelfen will und mir dies Thematik ein stückweit näher bringt und möglicherweise verständlicher macht!
MfG Dirk
PS: im Vergleich zur Literatur scheint dieser Satz nicht der Heine-Borelsche Übedeckungssatz zu sein, bin mir aber nicht sicher!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:27 Fr 29.07.2005 | | Autor: | Diirki |
Desweiteren soll ich auf verschiedene Anwendungen eingehen. Sollte euch diesbezüglich auch noch was einfallen,... ihr wisst schon, einfach mit rein schreiben, wäre mir ne große Hilfe. Danke im Voraus!
MfG Dirk
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Hallo,
obwohl ich mich eigentlich eher als analystiker denn als topologen bezeichnen würde, hier mal mein erklärungsversuch (natürlich nicht aus dem gedächtnis, sondern mithilfe des internets...  ,![[]](/images/popup.gif) http://at.yorku.ca/i/a/a/b/23.dir/ch2.htm):
in dem genannten satz geht es im großen und ganzen gesehen ja wohl um die äquivalenz von überdeckungs- und folgenkompaktheit, oder?
Also: [mm] $\Rightarrow:$
[/mm]
indirekter beweis: angenommen, es gibt eine unendliche teilmenge $A$ ohne häufungspunkt in K. Dann gibt es für alle [mm] $x\in [/mm] K$ offene Umgebungen, die nur eine endliche Schnittmenge mit $A$ haben. (klar?) Diese Umgebungen bilden natürlich eine offene Überdeckung von K, enthalten also nach Voraussetzung auch eine endliche Teilüberdeckung. Da jede Menge dieser endlichen Überdeckung nur endlich viele Elemente von $A$ enthält, kann $A$ nur endlich sein. Widerspruch!
[mm] $\Leftarrow:$
[/mm]
zunächst zeigt man, dass aus der 'folgenkompaktheit' folgt, dass es zu jedem $ [mm] \varepsilon>0$ [/mm] eine endliche Überdeckung von $K$ mit $ [mm] \varepsilon$-Bällen [/mm] gibt. Sonst kann man nämlich sehr leicht (siehe obigen link lemma 2.1.4.5) eine folge in $K$ konstruieren, die keine konvergente teilfolge enthält, was ein widerspruch ist.
bleibt der letzte schritt: wir können $K$ mit [mm] $\varepsilon$-Bällen [/mm] endlich überdecken und wollen die überdeckungs-kompaktheit zeigen. Angenommen, das gilt nicht: dann gibt es eine offene Überdeckung [mm] $G_i$, [/mm] die keine endliche Teilüberdeckung enthält. Gleichzeitig können wir aber $K$ mit noch so kleinen [mm] $\varepsilon$-Bällen [/mm] endlich überdecken. dh. für jedes [mm] $\varepsilon [/mm] >0$ gibt es einen Ball [mm] $B_{\varepsilon}(x_{\varepsilon})$ [/mm] der sich nur durch unendlich viele der [mm] $G_i$ [/mm] überdecken lässt. Lassen wir [mm] $\varepsilon$ [/mm] gegen $0$ laufen entsteht eine Folge [mm] $x_{\varepsilon}$, [/mm] die einen häufungspunkt [mm] $x_h$ [/mm] in $K$ besitzt. Außerdem ist [mm] $x_h \in G_{i_0}$ [/mm] für ein [mm] $i_0$. [/mm] Für genügend kleines [mm] $\varepsilon$ [/mm] muss dann aber auch [mm] $B_{\varepsilon}(x_{\varepsilon})\subset G_{i_0}$ [/mm] sein. Widerspruch.....
du siehst, dieser beweis hat zumindest keine 2 seiten, aber ein wenig tricky ist er auch.
ach ja und anwendungen: gibt es natürlich zahllose: die eigenschaft, dass in kompakten räumen jede folge eine konvergente teilfolge hat, ist sehr sehr wichtig. Zb. auch in meinem ehemaligen bereich, den partiellen diffgleichungen, da wird oft die existenz einer lösung gezeigt, die sich als häufungspunkt einer folge in einer kompakten teilmenge eines funktionenraums ergibt. A posteriori kann man oft auch noch zeigen, daß der häufungspunkt auch grenzwert ist.
Viele Grüße
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:35 Fr 29.07.2005 | | Autor: | SEcki |
> in dem genannten satz geht es im großen und ganzen gesehen
> ja wohl um die äquivalenz von überdeckungs- und
> folgenkompaktheit, oder?
Das scheint mir auch so, da aber das auch recht schnell geht für metrisdhe Räume (und man das fast überall nachlesen kann), reicht wohl auch einfach Äquivalenz zur Folgenkompaktheit zu zeigen, oder?
[Unsinn gesnippt.]
Mit Folgenkompaktheit ist die Richtung einfacher: da A unendlich, gibt es eine injektive Abbildung von [m]\N[/m] nach A, also eine konvergente Teilfolge, also einen Häufungspunkt in K.
Falls die Rückrichtung auch mit Folgenkompaktheit gehen soll: hat die Folge nur endlich viele Bilder, dann ist es trivial. Hat sie unendlcih viele, gibt es einen Häufungspunkt in K, dann kann man eine konvegrente Teilfiolge auswählen.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:49 Fr 29.07.2005 | | Autor: | MatthiasKr |
Hallo,
>
> > Also: [mm]\Rightarrow:[/mm]
> > indirekter beweis: angenommen, es gibt eine unendliche
> > teilmenge [mm]A[/mm] ohne häufungspunkt in K. Dann gibt es für alle
> > [mm]x\in K[/mm] offene Umgebungen, die nur eine endliche
> > Schnittmenge mit [mm]A[/mm] haben. (klar?) Diese Umgebungen bilden
> > natürlich eine offene Überdeckung von K,
>
> Hier ist doch was faul: warum sollten sie K überdecken? Die
> Menge ist beliebig - nicht dicht, oder so. Es könnten hier
> durchaus Punkte fehlen. Man nehme mal [m]\IZ[/m] und [mm][/m]\IR[/m][/mm] und hat
> da ein Gegenbeispiel - natürlich ist [m]\IR[/m] nicht kompakt, das
> hast du aber hier noch nicht benutzt ...
Hm, kannst Du mir mal erklären, warum das ein Gegenbeispiel ist? Nur zum Verständnis mit der Terminologie oben: [mm] $K=\IR$ [/mm] und [mm] $A=\IZ$. [/mm] Was im beweis dann behauptet wird ist, dass es für jede reelle Zahl eine Umgebung gibt, in der es nur endlich viele ganze Zahlen gibt. und dass ich mit diesen umgebungen [mm] $\IR$ [/mm] überdecken kann.
Willst Du das abstreiten?
Gruß
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:59 Fr 29.07.2005 | | Autor: | SEcki |
> > > Also: [mm]\Rightarrow:[/mm]
> > > indirekter beweis: angenommen, es gibt eine
> unendliche
> > > teilmenge [mm]A[/mm] ohne häufungspunkt in K. Dann gibt es für alle
> > > [mm]x\in K[/mm] offene Umgebungen, die nur eine endliche
ich las das als [m]x\in A[/m]
> > > Schnittmenge mit [mm]A[/mm] haben. (klar?) Diese Umgebungen bilden
> > > natürlich eine offene Überdeckung von K,
> Hm, kannst Du mir mal erklären, warum das ein Gegenbeispiel
> ist?
Argh, wie oben geschrieben, habe ich mich da verguckt, sorry. ich korrigiere das gleich.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:58 Fr 29.07.2005 | | Autor: | Diirki |
Also danke, für den Beweis in Kurzfassung, jedoch bringt mich das auch nicht viel weiter.. Wäre schön, wenn mir jemand diesen Satz von H-B-L einfach so bissl ins umgangssprachliche, leichter verständliche übersetzt! Gerne auch mit ein paar kleineren Erklärungen dazu.. Das wär super!
MfG Dirk
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Hallo,
ich weiß nicht genau, wo es bei Dir "klemmt", aber vielleicht hilft Dir eine kleine Erläuterung der Grundbegriffe:
Eine (offene) Überdeckung von K meint einfach ein System von offenen Mengen, das K enthält (genauer: eine Menge, bzw. eine Folge offener Mengen, deren Vereinigung K enthält).
Der H-B-Überdeckungssatz sagt jetzt, dass aus jeder beliebigen(!) Überdeckung einer kompakten(!) Menge K bereits endlich viele Mengen ausreichen, um K zu überdecken.
Du kannst das als Definition von "kompakt" nehmen, also K kompakt genau dann, wenn die Überdeckungseigenschaft erfüllt ist.
Du kannst "kompakt" aber auch so definieren, dass jede unendliche Teilmenge von K
- eine in K konvergente Teilfolge enthält,
- oder alternativ einen Häufungspunkt in K hat,
das nennt man dann auch "folgenkompakt".
In metrischen Räumen sind beide Definitionen äquivalent, den Beweis hast Du ja schon (elegant!) vorliegen (allgemein in topologischen Räumen gilt das nicht).
Wozu das Ganze nun?
Die Überdeckungs-Eigenschaft bzw. Folgenkompaktheit ist ein zentrales Beweismittel für viele Sätze und hat selbst kaum "praktischen" Wert.
Bsp.: Du kennst den Satz, dass eine stetige Funktion auf einem Kompaktum Minimum und Maximum annimmt. Der Beweis dafür wird je nach Lust und Laune mit H-B oder Folgenkompaktheit geführt.
Diese Liste lässt sich jetzt beliebeig fortsetzen...
Gruß, Richard
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