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| Aufgabe | Jeder Primfaktor der Ordnung einer endlichen Gruppe tritt auch als Ordnung eines Elements besagter Gruppe auf.
Beweis: Sei p unser Primfaktor. Man findet zunächst nach den Sylowsätzen in unserer Gruppe eine p-Sylow. Darin findet man ein Element, das nicht das neutrale Element ist. Dieses erzeugt eine zyklische Untergruppe, die isomorph ist zu [mm] \IZ/p^r \IZ [/mm] für r [mm] \ge [/mm] 1. Darin schließlich ist die Nebenklasse von [mm] p^{r-1} [/mm] das gesuchte Element der Ordnung p. |
Hallo!
Ich habe ein paar Fragen zu obigem Beweis:
Sei p unser Primfaktor. Man findet zunächst nach den Sylowsätzen in unserer Gruppe eine p-Sylow. Darin findet man ein Element, das nicht das neutrale Element ist. Dieses erzeugt eine zyklische Untergruppe, die isomorph ist zu [mm] \IZ/p^r \IZ [/mm] für r [mm] \ge [/mm] 1. (<-- Es ist noch klar, dass man ein nichttriviales Element findet, aber warum erzeugen alle nichttrivialen Elemente zyklische Untergruppen, die isomorph sind zu [mm] \IZ/p^r \IZ [/mm] für r [mm] \ge [/mm] 1 ? Dann müsste ja jedes Element der p-Sylow Ordnung [mm] p^r [/mm] haben, oder? )
Darin schließlich ist die Nebenklasse von [mm] p^{r-1} [/mm] das gesuchte Element der Ordnung p. (<-- Ich verstehe nicht, was "die Nebenklasse von [mm] p^{r-1} [/mm] " ist...? Ich habe bei Nebenklassen sowas im Kopf wie gH = {gh | g [mm] \in [/mm] G}. Das wäre dann hier: [mm] p^{r-1}G [/mm] ?)
Es wäre super, wenn mir hier jemand helfen könnte! Ich denke es ist schon wichtig diesen Beweis verstanden zu haben!
Liebe Grüße,
Lily
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:37 So 14.08.2016 | | Autor: | hippias |
> Jeder Primfaktor der Ordnung einer endlichen Gruppe tritt
> auch als Ordnung eines Elements besagter Gruppe auf.
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> Beweis: Sei p unser Primfaktor. Man findet zunächst nach
> den Sylowsätzen in unserer Gruppe eine p-Sylow. Darin
> findet man ein Element, das nicht das neutrale Element ist.
> Dieses erzeugt eine zyklische Untergruppe, die isomorph ist
> zu [mm]\IZ/p^r \IZ[/mm] für r [mm]\ge[/mm] 1. Darin schließlich ist die
> Nebenklasse von [mm]p^{r-1}[/mm] das gesuchte Element der Ordnung
> p.
> Hallo!
>
> Ich habe ein paar Fragen zu obigem Beweis:
>
> Sei p unser Primfaktor. Man findet zunächst nach den
> Sylowsätzen in unserer Gruppe eine p-Sylow. Darin findet
> man ein Element, das nicht das neutrale Element ist. Dieses
> erzeugt eine zyklische Untergruppe, die isomorph ist zu
> [mm]\IZ/p^r \IZ[/mm] für r [mm]\ge[/mm] 1. (<-- Es ist noch klar, dass man
> ein nichttriviales Element findet, aber warum erzeugen alle
> nichttrivialen Elemente zyklische Untergruppen, die
> isomorph sind zu [mm]\IZ/p^r \IZ[/mm] für r [mm]\ge[/mm] 1 ? Dann müsste ja
> jedes Element der p-Sylow Ordnung [mm]p^r[/mm] haben, oder? )
So ist es nicht gemeint. Ich möchte es so formoulieren: es sei $U$ die von dem nichttrivialen Element erzeugte zyklische Untergruppe. Dann hat $U$ Primzahl Ordnung (?); sei etwa $|U|= [mm] p^{r}$ [/mm] für ein [mm] $r\in \IN$. [/mm] Natürlich kann man für verschiedene Erzeuger unterschiedlich Gruppenordungen erhalten.
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> Darin schließlich ist die Nebenklasse von [mm]p^{r-1}[/mm] das
> gesuchte Element der Ordnung p. (<-- Ich verstehe nicht,
> was "die Nebenklasse von [mm]p^{r-1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
" ist...? Ich habe bei
> Nebenklassen sowas im Kopf wie gH = {gh | g [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
G}. Das
> wäre dann hier: [mm]p^{r-1}G[/mm] ?)
Es wird hier ja in [mm] $\IZ/p^{r}\IZ$ [/mm] gerechnet, daher kann man die Elemente dieser Gruppe als Nebenklassen bezeichnen: es ist eine Faktorstruktur.
Es geht hierbei aber nur um folgenden Sachverhalt: Ist $x$ ein Element der Ordnung [mm] $p^{r}$, $r\in \IN$, [/mm] dann hat [mm] $x^{p^{r-1}}$ [/mm] die Ordnung $p$.
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> Es wäre super, wenn mir hier jemand helfen könnte! Ich
> denke es ist schon wichtig diesen Beweis verstanden zu
> haben!
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> Liebe Grüße,
> Lily
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Hallo!
Vielen Dank für die schon sehr hilfreiche Antwort!
> So ist es nicht gemeint. Ich möchte es so formoulieren:
> es sei [mm]U[/mm] die von dem nichttrivialen Element erzeugte
> zyklische Untergruppe. Dann hat [mm]U[/mm] Primzahl Ordnung (?); sei
> etwa [mm]|U|= p^{r}[/mm] für ein [mm]r\in \IN[/mm]. Natürlich kann man für
> verschiedene Erzeuger unterschiedlich Gruppenordungen
> erhalten.
Ok, dass jedes Element eine zyklische Gruppe erzeugen kann ist klar, aber warum muss diese Primzahlordnung haben? Die Ordnung der UG muss ja die Ordnung der Gruppe teilen nach Lagrange. Sei beispielsweise |G|=pqr mit p,q,r Primzahlen (oder Primzahlpotenzen). Dann könnte |UG|= eine der Primzahlpotenzen sein. es könnte doch aber auch ein Produkt sein, oder? Bspw. pq und das ist keine Primzahl mehr. Was übersehe ich hier?
Liebe Grüße,
Lily
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:55 Mo 15.08.2016 | | Autor: | hippias |
> Hallo!
> Vielen Dank für die schon sehr hilfreiche Antwort!
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> > So ist es nicht gemeint. Ich möchte es so formoulieren:
> > es sei [mm]U[/mm] die von dem nichttrivialen Element erzeugte
> > zyklische Untergruppe. Dann hat [mm]U[/mm] Primzahl Ordnung (?); sei
> > etwa [mm]|U|= p^{r}[/mm] für ein [mm]r\in \IN[/mm]. Natürlich kann man für
> > verschiedene Erzeuger unterschiedlich Gruppenordungen
> > erhalten.
>
> Ok, dass jedes Element eine zyklische Gruppe erzeugen kann
> ist klar, aber warum muss diese Primzahlordnung haben? Die
> Ordnung der UG muss ja die Ordnung der Gruppe teilen nach
> Lagrange. Sei beispielsweise |G|=pqr mit p,q,r Primzahlen
> (oder Primzahlpotenzen). Dann könnte |UG|= eine der
> Primzahlpotenzen sein. es könnte doch aber auch ein
> Produkt sein, oder? Bspw. pq und das ist keine Primzahl
> mehr. Was übersehe ich hier?
Du hast übersehen, dass der Erzeuger nicht ein beliebiges Element von $G$ ist, sondern aus einer sehr speziellen Untergruppe gewählt wurde...
>
> Liebe Grüße,
> Lily
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:40 Mo 15.08.2016 | | Autor: | Mathe-Lily |
Aaah, ja stimmt, vollständig übersehen! Vielen Dank!! 
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