Satz ü. stetig diff. Funktion < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:04 Mo 04.12.2017 | | Autor: | X3nion |
Hallo zusammen!
Mir ist das ein oder andere bei folgendem Satz nicht klar:
Satz Sei U [mm] \subset \IR^{n} [/mm] offen und f: U [mm] \to \IR [/mm] eine k-mal stetig differenzierbare Funktion. Sei x [mm] \in [/mm] U und [mm] \xi \in \IR^{n} [/mm] ein Vektor derart, dass die Strecke x + [mm] t\xi, [/mm] 0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] 1, ganz in U liegt. Dann ist die Funktion
g: [0,1] [mm] \to \IR, [/mm] g(t) := f( x + [mm] t\xi),
[/mm]
k-mal stetig differenzierbar und es gilt
[mm] \frac{d^{k}(g)}{dt^{k}}(t) [/mm] = [mm] \summe_{|\alpha| = k} [/mm] = [mm] \frac{k!}{\alpha!} (D^{\alpha}f)(x+t\xi)\xi^{\alpha},
[/mm]
wobei folgende Bezeichnungen eingeführt werden:
Für ein n-tupel [mm] \alpha [/mm] = [mm] (\alpha_{1}, [/mm] ..., [mm] \alpha_{n}) \in \IN^{n} [/mm] sei
[mm] |\alpha| [/mm] := [mm] \a_{1} [/mm] + [mm] a_{2} [/mm] + ... + [mm] a_{n},
[/mm]
[mm] \alpha| [/mm] := [mm] \alpha_{1}|\alpha_{2}|\cdot{}...\cdot{}\alpha_{n}.
[/mm]
Ist f eine [mm] |\alpha|-mal [/mm] stetig differenzierbare Funktion, so setzt man
[mm] D^{\alpha}f [/mm] := [mm] D_{1}^{\alpha_{1}}D_{2}^{\alpha_{2}}...D_{n}^{\alpha_{n}} [/mm] f = [mm] \frac{\partial^{|\alpha|}f}{\partial x_{1}^{\alpha_{1}}\partial x_{2}^{\alpha_{2}}...\partial x_{n}^{\alpha_{n}}}
[/mm]
wobei [mm] D_{i}^{\alpha_{i}} [/mm] = [mm] \underbrace{D_{i}D_{i}...D_{i}}_{=\alpha_{i} mal}.
[/mm]
Für x [mm] (x_{1}, [/mm] ..., [mm] x_{n}) \in \IR^{n} [/mm] sei
[mm] x^{\alpha} [/mm] := [mm] x_{1}^{\alpha_{1}}x_{2}^{\alpha_{2}}\cdot{}...\cdot{}x_{n}^{\alpha_{n}}
[/mm]
Beweis
Hier schreibe ich zunächst Teil a) auf und wenn ich es verstanden habe Teil b)
a) Es wird zunächst durch Induktion über k gezeigt, dass
[mm] \frac{d^{k}(g)}{dt^{k}}(t) [/mm] = [mm] \summe_{i_{1},...,i_{k}=1}^{n} D_{i_{k}}...D_{i_{1}} [/mm] f(x + [mm] t\xi)\xi_{i_{1}}...\xi_{i_{k}}.
[/mm]
Für k = 1 ergibt sich aus der Kettenregel
[mm] \frac{dg}{dt}(t) [/mm] = [mm] \frac{d}{dt} f(x_{1} [/mm] + [mm] t\xi_{1}, [/mm] ..., [mm] x_{n} [/mm] + [mm] t\xi_{n}) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}D_{i}f(x [/mm] + [mm] t\xi)\xi_{i}
[/mm]
Induktionsschritt k-1 [mm] \to [/mm] k
[mm] \frac{d^{k}(g)}{dt^{k}}(t) [/mm] = [mm] \frac{d}{dt} \left( \summe_{i_{1},...,i_{k-1}=1}^{n} D_{i_{k-1}}...D_{i_{1}} f(x + t\xi)\xi_{i_{1}}...\xi_{i_{k-1}}\right) [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{n}D_{j} \left( \summe_{i_{1},...,i_{k-1}=1}^{n} D_{i_{k-1}}...D_{i_{1}} f(x + t\xi)\xi_{i_{1}}...\xi_{i_{k-1}} \right) \xi_{j}
[/mm]
= [mm] \summe_{i_{1},...,i_{k}=1}^{n} D_{i_{k}}...D_{i_{1}} [/mm] f(x + [mm] t\xi)\xi_{i_{1}}...\xi_{i_{k}}
[/mm]
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Nun zu meiner Frage:
Wieso gilt die Gleichheit (*) [mm] \frac{d}{dt} \left( \summe_{i_{1},...,i_{k-1}=1}^{n} D_{i_{k-1}}...D_{i_{1}} f(x + t\xi)\xi_{i_{1}}...\xi_{i_{k-1}}\right) [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{n}D_{j} \left( \summe_{i_{1},...,i_{k-1}=1}^{n} D_{i_{k-1}}...D_{i_{1}} f(x + t\xi)\xi_{i_{1}}...\xi_{i_{k-1}} \right) \xi_{j} [/mm] ?
Wird hier das Corollar zur Kettenregel benutzt? Dieses lautet im Forster: Seien U [mm] \subset \IR^{n} [/mm] und V [mm] \subset \IR^{m} [/mm] offene Mengen, f: V [mm] \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] f(x) eine differenziarbare Funktion sowie
[mm] \phi [/mm] = [mm] \vektor{\phi_{1}\\ \phi_{2}\\ . \\ . \\ \phi_{n}} [/mm] : U [mm] \to \IR^{m}, [/mm] t [mm] \mapsto [/mm] x = [mm] \phi(t),
[/mm]
eine differenzierbare Abbildung mit [mm] \phi(U) \subset [/mm] V. Dann ist die Funktion
F := f [mm] \circ \phi [/mm] : U [mm] \to \IR, [/mm] t [mm] \mapsto f(\phi(t))
[/mm]
partiell differenzierbar und es gilt für i = 1, ..., n
[mm] \frac{\partial F}{\partial t_{i}} (t_{1}, [/mm] ..., [mm] t_{n}) [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{m} \frac{\partial f}{\partial x_{j}} (\phi_{1}(t), [/mm] ..., [mm] \phi_{m}(t)) \frac{\partial \phi_{j}}{\partial t_{i}}(t_{1}, [/mm] ..., [mm] t_{n}).
[/mm]
Mit t [mm] \in \IR [/mm] reduziert sich diese Formel ja auf:
[mm] \frac{\partial F}{\partial t} [/mm] (t) = [mm] \summe_{j=1}^{m} \frac{\partial f}{\partial x_{j}} (\phi(t)) \frac{\partial \phi_{j}}{\partial t}(t).
[/mm]
Würde man auf obige Gleichung (*) die Kettenregel anwenden, dann müsste ja die Funktion [mm] f(\phi(t)) [/mm] die komplette Summe [mm] \summe_{i_{1},...,i_{k-1}=1}^{n} D_{i_{k-1}}...D_{i_{1}} [/mm] f(x + [mm] t\xi)\xi_{i_{1}}...\xi_{i_{k-1}} [/mm] sein.
Ist dies der Fall? Und [mm] \frac{\partial \phi_{j}}{\partial t}(t) [/mm] = [mm] \xi_{j} [/mm] ?
Ich wäre euch sehr dankbar für euren Rat!
Viele Grüße,
X3nion
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Fr 08.12.2017 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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