Satz der offenen Abb. < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:43 Do 08.05.2014 | | Autor: | Kueken |
Hallo,
ich scheitere mal wieder an einem Beispiel im Werner auf S.151
Es geht erstmal um die Definition der offenen Abbildung und ein Beispiel dazu, dass eine offene Abbildung eine abgeschlossene Menge nicht auf eine abgeschlossene abzubilden braucht.
Das Beispiel geht wie folgt:
Die Abbildung p: [mm] \IR^2 \rightarrow \IR, [/mm] (s,t) [mm] \mapsto [/mm] s, ist offen, bildet aber die abgeschlossene Menge {(s,t): s [mm] \ge [/mm] 0, st [mm] \ge [/mm] 1} auf (0, [mm] \infty) [/mm] ab.
dazu: ich kann mit dieser Menge nicht viel anfangen. Erstmal wollte ich mir klar machen, dass die Menge abgeschlossen ist. Da eine Menge abgeschlossen ist, wenn das Komplement offen ist, habe ich mir überlegt wie das Komplement aussieht.
Naja, ich kam dann dazu dass es so aussieht:
{(s,t): s < 0 und st [mm] \ge [/mm] 1} [mm] \cup [/mm] {(s,t):s [mm] \ge [/mm] 0 und st<1} [mm] \cup [/mm] {(s,t): s <0, st <1}
Dann habe ich ein paar Zahlen eingesetzt um mir das ganze anschaulich zu machen, aber anschaulich wurde es dadurch nicht wirklich.
Ich hoffe ich habe jetzt nichts vergessen: es sind folgende Tupel möglich:
[mm] (\IR^{+} \cup [/mm] {0}, [mm] \IR)
[/mm]
Außerdem gehen sowas:
[mm] (\IR,0) [/mm]
und (s [mm] \in [/mm] [0,1], t < [mm] \bruch{1}{s} [/mm] )
Wenn ich Mengen in die Klammer reingeschrieben habe, ist dabei ein beliebiges Element aus dieser Menge gemeint.
Soweit so gut. An dieser Stelle bin ich gerade zu dumm zu sehen, warum diese Menge offen ist. Oder was mir lieber wäre, woran sehe ich sofort, dass die ursprüngliche Menge aus dem Beispiel abgeschlossen ist.
Vielen Dank vorab und Viele Grüße
Kerstin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:02 Fr 09.05.2014 | | Autor: | hippias |
Die Menge [mm] $\{(s,t)\in\IR^{2}|s\geq 0, st=1\}$ [/mm] stellt den rechten Hyperbelast der Funktion [mm] $x\mapsto \frac{1}{x}$ [/mm] dar, weil [mm] $st=1\iff t=\frac{1}{s}$, $s\neq [/mm] 0$.
Deine gegebene Menge stellt somit die Menge aller Punkte oberhalb des Hyperbelastes dar, inklusive ihres Randes, welcher die obige Menge ist.
Diese Argumentation ist natuerlich nur anschaulich. Als Faustregel koennte man vielleicht sagen, dass wenn in der Definition der Menge echte Ungleichungen benutzt werden, dann ist die Menge meist offen; wird groesser-gleich oder kleiner-gleich benutzt, ist sie vermutlich abgeschlossen.
Wobei dein Beispiel natuerlich eine Ausnahme zu meiner Regel darstellt, weil [mm] $\{(s,t)\in\IR^{2}|s\geq 0, st\geq 1\}= \{(s,t)\in\IR^{2}|s> 0, st\geq 1\}$ [/mm] gilt.
Der direkte Beweis fuer die Abgeschlossenheit ist aber auch nicht aufwendig: Sei [mm] $(s_{n}, t_{n})_{n\in \IN}$ [/mm] eine konvergente Folge der Menge. Dann existiert [mm] $\lim_{n\to \infty} s_{n}= [/mm] s$ und [mm] $\lim_{n\to \infty} t_{n}= [/mm] t$. Wegen [mm] $s_{n}\geq [/mm] 0$ ist auch [mm] $s\geq [/mm] 0$. Ferner ist [mm] $(s_{n}t_{n})_{n\in\IN}$ [/mm] konvergent mit [mm] $1\leq \lim_{n\to\infty} s_{n}t_{n}= [/mm] st$. Damit liegt auch $(s,t)$ in der Menge.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:34 Fr 09.05.2014 | | Autor: | Kueken |
Hallo Hippias,
manchmal tut es echt weh, wenn man die Auflösung des Problems sieht ^^.
Vielen Dank für die Erleuchtung :)
Einfach mal die Ungleichung umzustellen, bin ich nicht drauf gekommen.
Viele Grüße
Kerstin
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