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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Sattelpunkte und Extrema
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Sattelpunkte und Extrema: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:16 Mo 16.07.2012
Autor: ZinyBu

Aufgabe
f: /R² -> /R

f(x,y) = -2x³-3y²+6xy

-6x²+ 6y = 0
-6y + 6x = 0

Ist das hier richtig mit -6x² in der 1. Gleichung und -6y in der 2. Gleichung
können hier die Exponenten unterschiedlich sein?

Die erste Gleichung liefert y = x², setze ich dies in die 2. Gleichung erhält man: -6(x²) + 6x = 0 gleichbedeutend mit -6x² + 6x =0, was wiederum äquivalent ist zu:
x(-6x + 6) = 0

Also ist x= 0 bzw x= -1/2. Da y= x² erhält man die Koordinaten für zwei kritische Punkte:

N1 = (0,0), und N2 = (1/2, -1/2)

Bin ich hier auf dem richtigen Weg um mit der Hesse Matrix weiter zu arbeiten???

Bestimme alle lokalen Extrema und Sattelpunkte der Funktion

f(x,y) = 6xy - 3y² - 2x³





Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Sattelpunkte und Extrema: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:17 Di 17.07.2012
Autor: fred97


> f: /R² -> /R
>  
> f(x,y) = -2x³-3y²+6xy
>  
> -6x²+ 6y = 0
>  -6y + 6x = 0
>  
> Ist das hier richtig mit -6x² in der 1. Gleichung und -6y
> in der 2. Gleichung

ja


>  können hier die Exponenten unterschiedlich sein?

warum nicht ?


>  
> Die erste Gleichung liefert y = x², setze ich dies in die
> 2. Gleichung erhält man: -6(x²) + 6x = 0 gleichbedeutend
> mit -6x² + 6x =0, was wiederum äquivalent ist zu:
>  x(-6x + 6) = 0
>  
> Also ist x= 0


ja



> bzw x= -1/2.

Nein, sondern x=1



FRED

> Da y= x² erhält man die
> Koordinaten für zwei kritische Punkte:
>  
> N1 = (0,0), und N2 = (1/2, -1/2)
>  
> Bin ich hier auf dem richtigen Weg um mit der Hesse Matrix
> weiter zu arbeiten???
>  Bestimme alle lokalen Extrema und Sattelpunkte der
> Funktion
>  
> f(x,y) = 6xy - 3y² - 2x³
>  
>
>
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
                
Bezug
Sattelpunkte und Extrema: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:22 Di 17.07.2012
Autor: ZinyBu

Aufgabe
Also ist x = 0 bzw. x = 1 . Da y = x² erhalte ich die Koordinaten für zwei Kritische Punkte: N1 = (0,0), und N2= (1/-1).

Nun berechne ich die Hesse Matrix. Dazu beötige ich die zwei partiellen Ableitungen:

1.

[mm] \partial [/mm] ² f / [mm] \partial [/mm] x² = -12x           [mm] \partial [/mm] f / [mm] \partial [/mm] y = -6

und [mm] \partial [/mm] ² f / [mm] \partial [/mm] x² [mm] \partial [/mm] y = 1. In einem beliebigen Punkt (x,y) hat die Hesse Matrix also die Form:

Hf (x,y) = [mm] \pmat{ -12x & 1 \\ 1 & -6 } [/mm]

Im Punkt N1=(0,0) hat sie den Wert:

Hf (0,0) = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0} [/mm]

Wenn dann x = 1 ist geht es so weiter....

Bei der 1.  Ist hier die Hesse Matrix  richtig, weil ich bei   [mm] \partial [/mm] f / [mm] \partial [/mm] y = -6  die quadrate nicht mitbeigefügt bei   [mm] \partial [/mm] ? f /   [mm] \partial [/mm] y?  .

Ist der weitere weg dann noch in Ordnung?

danach kommt die Determinante....

Bezug
                        
Bezug
Sattelpunkte und Extrema: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:37 Di 17.07.2012
Autor: schachuzipus

Hallo Zinybu,


> Also ist x = 0 bzw. x = 1 . Da y = x² erhalte ich die
> Koordinaten für zwei Kritische Punkte: N1 = (0,0), [ok] und N2=
> (1/-1).

Wie kommt die -1 zustande?

>  
> Nun berechne ich die Hesse Matrix. Dazu beötige ich die
> zweiten partiellen Ableitungen:

Jo

>  
> 1.
>  
> [mm]\partial[/mm] ² f / [mm]\partial[/mm] x² = -12x [ok]

           [mm]\partial[/mm] f / [mm]\partial[/mm] y = -6

Deine Schreibweisen sind sehr merkwürdig, es ist [mm] $f_{yy}(x,y)=-6$ [/mm] - das meintest du wohl auch ...

Oder nicht?

>  
> und [mm]\partial[/mm] ² f / [mm]\partial[/mm] x² [mm]\partial[/mm] y = 1.

Was heißt das nun?

Du brauchst noch [mm] $f_{xy}(x,y)$ [/mm] und [mm] $f_{yx}(x,y)$ [/mm] ...


> In einem
> beliebigen Punkt (x,y) hat die Hesse Matrix also die Form:
>  
> Hf (x,y) = [mm]\pmat{ -12x & 1 \\ 1 & -6 }[/mm]

Nein, das stimmt nicht, die 1en sind falsch!

>  
> Im Punkt N1=(0,0) hat sie den Wert:
>  
> Hf (0,0) = [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0}[/mm]
>  Wenn dann x = 1 ist geht
> es so weiter....
>  
> Bei der 1.  Ist hier die Hesse Matrix  richtig, weil ich
> bei   [mm]\partial[/mm] f / [mm]\partial[/mm] y = -6  die quadrate nicht
> mitbeigefügt bei   [mm]\partial[/mm] ? f /   [mm]\partial[/mm] y?  .

Das verstehe, wer will?!

>
> Ist der weitere weg dann noch in Ordnung?

Welcher weitere Weg?

Stelle die Hessematrizen in den kritischen Punkten auf und untersuche sie auf Definitheit ...

>  
> danach kommt die Determinante....

Aha ...

Gruß

schachuzipus


Bezug
                                
Bezug
Sattelpunkte und Extrema: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:11 Sa 28.07.2012
Autor: ZinyBu

wie ich auf die -1 komme, dass war falsch.

man bekommt N2= (1/1) das war wohl ein Vorzeichenfehler?

Du brauchst noch $ [mm] f_{yx}(x,y) [/mm] $ und $ [mm] f_{xy}(x,y) [/mm] $

wie berechne ich das?


Aussage:
Nein, das stimmt nicht, die 1en sind falsch!

Warum sind die 1en falsch?

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