Sattelpunkt = Extremstelle? Berechnung von Extremstellen... < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:12 Mi 02.06.2004 | | Autor: | Sandra |
Hallo!
Hoffe Ihr könnt mir helfen!
Sei f : R2 -> R gegeben durch f(x; y) = (3 -x)(3-y)(x+y-3).
Bestimmen Sie alle lokalen Extrema!
Ich habe dann nach ableiten als Bedingung x=y rausbekommen, somit habe ich ja unendlich viele Stellen, die Extrema sein könnten, leider sind es bei mir dann alles Sattelpunkte. :-(
Vielen Dank schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:31 Do 03.06.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Sandra
ich denke, dass du nicht ganz richtig liegst!
Soweit ich mich noch erinnern kann, ist eine notwendige Bedingung, dass eine Funktion ein Extremum annimmt, dass an dieser Stelle der Gradient = [mm] $\vec{0}$ [/mm] ist.
Nach meiner Rechnung ist [mm]grad(f)=((3-y)*(6-x-2y),(3-x)*(6-2x-y))[/mm]
Die erste Komponente davon wird $= 0$, wenn $y=3$ oder $x=6-2y$
(Das sind 2 Geraden in der x-y-Ebene, vielleicht zeichnest du diese mal in der x-y-Ebene mit einem roten Farbstift ein)
Die 2. Komponente des Gradienten wird $= 0$, wenn $x=3$ oder $y=6-2x$
(Das sind 2 Geraden in der x-y-Ebene, vielleicht zeichnest du diese mal in der x-y-Ebene mit einem blauen Farbstift ein).
Die Kandidaten für die Extremstellen liegen dort, wo sich die roten mit den blauen Geraden schneiden, also in den Punkten
[mm](\bruch{3}{2},3),\,(2,2),\,(3,3)[/mm] und [mm](3,\bruch{3}{2})[/mm]
Diese Kandidaten lohnt es sich, etwas genauer zu untersuchen.
Wenn du damit nicht zurecht kommst, dann meldest du dich hier wieder? 
Mit lieben Grüssen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:29 Do 03.06.2004 | | Autor: | Sandra |
Hallo Paulus!
Vielen Dank für Deine schnelle Antwort.
Habe versucht Deinen Rechenweg nachzuvollziehen, wie Du auf grad (f) kommst, jedoch ergibt sich bei mir folgendes:
grad (f) = (( 3- y ) * ( 6 - 2x - y ) , ( 3- x ) * ( 6 - x - 2y)
Und dann folgt daraus, dass die erste Komponente = 0 ist für y = 3 oder y = 6-2x
und für die 2. Komponente = 0 x= 3 oder x= 6-2y.
Dein Ergebnis sah sehr ähnlich aus...
Habe die Geraden dann mal gezeichnet und komme auf folgende Schnittpunkte:
(3,2/3), (2,2), (3,3) und (0,3).
Habe somit eine von Deiner Rechnung abweichende Stelle heraus.
Trotzdem vielen Dank für Deine Hilfe!
LG
Sandra
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:08 Fr 04.06.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Sandra
ja, du hast recht mit dem Gradienten. Das war auch tatsächlich meine 1. Lösung. Beim Ueberprüfen habe ich mich dann verrechnet.
Ich meine aber doch, dass deine Kandidaten nicht richtig sind. Ich denke, es sollten folgende sein:
$(0,3)$
$(2,2)$
$(3,0)$
$(3,3)$
Mit lieben Grüssen
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