Sattelpunkt -> Gradient = 0 < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es seien $U [mm] \subset \mathbb{R}^2 [/mm] $ offen, $f: U [mm] \rightarrow \mathbb{R}$ [/mm] in $a [mm] \in [/mm] U$ diffbar und $f$ habe in $a$ einen Sattelpunkt. Zeigen Sie:
[mm] $\nabla [/mm] f(a) = 0$ |
Also wir haben Sattelpunkt so definiert:
$f: U [mm] \rightarrow \mathbb{R}$ [/mm] hat in $a [mm] \in [/mm] U$ einen SP
[mm] $:\Leftrightarrow \exists [/mm] V [mm] \subset \mathbb{R}^n$ [/mm] Untervektorraum mit $0 < dimV < n$:
[mm] $f|_{(a+V)\cap U}$ [/mm] hat in a ein striktes lok. Maximum
[mm] $f|_{(a+V^\perp)\cap U}$ [/mm] hat in a ein striktes lok. Minimum
dazu meine erste Frage:
Wenn $a [mm] \in [/mm] U [mm] \subset \mathbb{R}^2$ [/mm] und $dim(V) < 2$ ist, was soll dann $a + V$ sein. Ich habe hier ja unterschiedliche Dimensionen.
Und zur eigentlichen Aufgabe, hab ich leider nicht mal einen Ansatz, ausser dass ich V wohl einfach eine Koordinatenachse ist.
Und dass die Ableitungen von [mm] $f|_{(a+V)\cap U}(a)$ [/mm] und [mm] $f|_{(a+V^\perp)\cap U}(a)$ [/mm] nach Definition 0 sind.
Und die partiellen Ableitungen entsprechen doch den Ableitungen von [mm] $f|_{(a+V)\cap U}(a)$ [/mm] bzw. [mm] $f|_{(a+V^\perp)\cap U}(a)$ [/mm] oder? Da ich ja einfach eine Variable als Konstante behandle und nach der anderen ableite.
lg
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kann mir niemand helfen? bin leider immer noch nicht weiter gekommen :(
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:51 Di 19.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Es seien [mm]U \subset \mathbb{R}^2[/mm] offen, [mm]f: U \rightarrow \mathbb{R}[/mm]
> in [mm]a \in U[/mm] diffbar und [mm]f[/mm] habe in [mm]a[/mm] einen Sattelpunkt.
> Zeigen Sie:
> [mm]\nabla f(a) = 0[/mm]
> Also wir haben Sattelpunkt so definiert:
> [mm]f: U \rightarrow \mathbb{R}[/mm] hat in [mm]a \in U[/mm] einen SP
> [mm]:\Leftrightarrow \exists V \subset \mathbb{R}^n[/mm]
> Untervektorraum mit [mm]0 < dimV < n[/mm]:
> [mm]f|_{(a+V)\cap U}[/mm] hat in
> a ein striktes lok. Maximum
> [mm]f|_{(a+V^\perp)\cap U}[/mm] hat in a ein striktes lok. Minimum
>
>
> dazu meine erste Frage:
> Wenn [mm]a \in U \subset \mathbb{R}^2[/mm] und [mm]dim(V) < 2[/mm] ist, was
> soll dann [mm]a + V[/mm] sein.
[mm] $a+V=\{a+v:v \in V\}$
[/mm]
> Ich habe hier ja unterschiedliche
> Dimensionen.
??????
>
> Und zur eigentlichen Aufgabe, hab ich leider nicht mal
> einen Ansatz, ausser dass ich V wohl einfach eine
> Koordinatenachse ist.
> Und dass die Ableitungen von [mm]f|_{(a+V)\cap U}(a)[/mm] und
> [mm]f|_{(a+V^\perp)\cap U}(a)[/mm] nach Definition 0 sind.
> Und die partiellen Ableitungen entsprechen doch den
> Ableitungen von [mm]f|_{(a+V)\cap U}(a)[/mm] bzw.
> [mm]f|_{(a+V^\perp)\cap U}(a)[/mm] oder? Da ich ja einfach eine
> Variable als Konstante behandle und nach der anderen
> ableite.
Alsoooo: es ist n=2, somit ist dim(V)=1, es ex. also ein $v [mm] \in \IR^2 \setminus \{(0,0)\}$ [/mm] mit
[mm] $V=\{t*v: t \in \IR\}$.
[/mm]
Damit ist
[mm] $a+V=\{a+t*v: t \in \IR\}$. [/mm]
Ist nun $w [mm] \in \IR^2 \setminus \{(0,0)\}$ [/mm] und $v [mm] \perp [/mm] w$, so ist
[mm] $a+V^{\perp}=\{a+s*w: s \in \IR\}$. [/mm]
Da U offen ist ex. ein r>0 mit
$a+t*v, a+s*w [mm] \in [/mm] U$ für |t|,|s| <r.
Setze
$g(t):=f(a+t*v)$ und $h(s)=f(a+s*w)$ für t,s [mm] \in [/mm] (-r,r)
Aus der Vor. "$ [mm] f|_{(a+V)\cap U} [/mm] $ hat in a ein striktes lok. Maximum" folgt:
g'(0)=0.
Genauso: h'(0)=0. Mit der Kettenregel folgt:
(*) $ [mm] \nabla [/mm] f(a)*v=0= [mm] \nabla [/mm] f(a)*w$.
Nun ist [mm] \{v,w\} [/mm] eine Basis des [mm] \IR^2. [/mm] Aus (*) folgt dann $ [mm] \nabla [/mm] f(a)=0$ (wie ?)
FRED
>
> lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:35 Di 19.05.2015 | | Autor: | fred97 |
Noch eine Bemerkung: die Aufgabe ist doof, denn sie hat mit "Sattelpunkt" eigentlich nix zu tun.
Satz: Es seien $ U [mm] \subset \mathbb{R}^2 [/mm] $ offen, $ f: U [mm] \rightarrow \mathbb{R} [/mm] $ in $ a [mm] \in [/mm] U $ diffbar, $v,w [mm] \in \IR^2$ [/mm] linear unabhängig und
[mm] \bruch{\partial f}{\partial v}(a)=0=\bruch{\partial f}{\partial w}(a),
[/mm]
dann ist $ [mm] \nabla [/mm] f(a) = 0 $
FRED
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