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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:22 Do 23.08.2007 | | Autor: | habib |
| Aufgabe | Zeige, dass jede frei operierende Gruppe (aus SL (2;R)) auch diskontinuierlich operiert.
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Zunächst, falls man die Definitionen nicht kennt:
operiert frei: Eine Gruppe [mm] \Gamma\subset [/mm] SL(2;R) operiert frei, wenn es zu jedem Punkt a (aus der oberen Halbebene) eine Umgebung U(a) gibt, so dass [mm] \bigcup_{\gamma\in\Gamma} \gamma(U(a)) [/mm] eine disjunkte Vereinigung ist.
operiert diskontinuiwerlich: ... operiert disk., wenn für zwei Kompakta [mm] K_1 [/mm] und [mm] K_2 [/mm] (aus der oberen Halbebene) die Menge [mm] \{\gamma\in\Gamma;\gamma(K_1)\cap K_2\not=\emptyset\} [/mm] endlich ist. Bemerkung: man kann [mm] K_1, K_2 [/mm] durch [mm] K_1\cap K_2 [/mm] ersetzen, weswegen man statt [mm] K_1, K_2 [/mm] auch nur K schreiben kann.
Beweisidee:
ich nehm an, dass [mm] \Gamma [/mm] frei operiert. Dann nehm ich mir ein Kompaktum aus H (ob. Halbebene). Da [mm] \Gamma [/mm] frei operiert, besitzt jeder Punkt a in K eine Umgebung U(a), so dass [mm] \bigcup_{\gamma\in\Gamma} \gamma(U(a)) [/mm] disjunkt ist. Es ist [mm] K\subseteq\bigcup_{a\in K} [/mm] U(a). Da K kompakt, besitzt diese Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung [mm] K\subseteq\bigcup_{i=1}^{n} U_i, [/mm] mit [mm] U_i [/mm] = U(a) für passendes a. Für den Beweis reicht es nun zu zeigen, dass [mm] \{\gamma\in\Gamma;\gamma(U_1)\cap K\not=\emptyset\} [/mm] endlich ist. Da [mm] id\in\Gamma [/mm] ist die Menge schon mal nicht leer. Nun weiß ich ja, dass [mm] \gamma(U_1)\not= U_1 [/mm] ist für [mm] \gamma\not= [/mm] id (da [mm] \Gamma [/mm] frei operiert). Diese [mm] \gamma(U_1) [/mm] könnten dennoch in K liegen.
Mein Problem:
Wenn die [mm] \gamma(U_1) [/mm] für fortlaufende [mm] \gamma [/mm] jetzt immer "kleiner" (wegen mir der Durchmesser im Sinne der Euklid. Metrik) werden würden, so könnten es doch unendlich viele im Kompaktum geben, oder?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Grüße!
Man korrigiere mich, wenn ich etwas Falsches schreibe, aber laut Voraussetzung ist [mm] $\Gamma$ [/mm] ja eine Untergruppe der [mm] $SL_2(\IR)$ [/mm] und die operiert auf der oberen Halbebene mittels Isometrien, also bezüglich der hyperbolischen (Riemannschen) Metrik.
Daher muss die Familie der [mm] $\gamma(U_1)$ [/mm] für [mm] $\gamma \in \Gamma$ [/mm] aufgrund der Disjunktheit jede kompakte Menge (in diesem Fall auch: beschränkte) Menge verlassen.
Lars
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