SIN --- DEG und RAD < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:56 Do 02.11.2006 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | | Was ist der Unterschied zwischen sin [mm] \alpha [/mm] in DEG und sin [mm] \alpha [/mm] in RAD? |
guten tag,
irgendwie habe noch nicht ganz begriffen, was der unterschied zwischen degree-maß und bogenmaß ist.
im einheitskreis
kann ich den sin 45° mit dem Taschenrechner ausrechnen
MODE DEG liefert [mm] \approx [/mm] 0,71
MODE RAD liefert [mm] \approx [/mm] 0,85 ????
und das bogenmaß [mm] b_{\alpha=45°} [/mm] wäre aber [mm] \bruch{\pi}{4} \approx [/mm] 0,75. warum ist das nicht gleich dem rad-wert?
Achso, wie sieht es mit GRAD aus? Ist da der Einheitskreis in mehr als 360° geteilt?
Vielen Dank für eure Hilfe!
gruss
wolfgang
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:33 Do 02.11.2006 | | Autor: | chmul |
Hallo Wolfgang!
> Was ist der Unterschied zwischen sin [mm]\alpha[/mm] in DEG und sin
> [mm]\alpha[/mm] in RAD?
> guten tag,
>
> irgendwie habe noch nicht ganz begriffen, was der
> unterschied zwischen degree-maß und bogenmaß ist.
> im einheitskreis
>
> kann ich den sin 45° mit dem Taschenrechner ausrechnen
>
> MODE DEG liefert [mm]\approx[/mm] 0,71
>
> MODE RAD liefert [mm]\approx[/mm] 0,85 ????
>
> und das bogenmaß [mm]b_{\alpha=45°}[/mm] wäre aber [mm]\bruch{\pi}{4} \approx[/mm]
> 0,75. warum ist das nicht gleich dem rad-wert?
Wie du schon weißt, ist das eine (DEG) die Berechnung im Gradmaß, d.h. wenn du z.B. den Sinus berechnest und dein Taschenrechner auf DEG gestellt ist, dann kannst du, bzw. musst du [mm] \alpha [/mm] in der Gradzahl eingeben (Bsp.: 45°) [mm]sin \alpha = sin 45° = \bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm]
Die zweite Variante (RAD) ist die Berechnung im Bogenmaß, d.h. man kann den Sinus von 45° nicht mehr so berechnen wie Oben, sondern man muss die Gradzahl erst ins Bogenmaß umrechnen. Dazu muss man wissen, dass 360° [mm] \hat= 2\pi [/mm] daraus folgt, dass in unserem Beispiel [mm]45° \hat= \bruch{\pi}{4}[/mm] wie du Oben ja richtig umgerechnet hast. Um nun den Sinus zu Berechnen (Taschenrechner auf RAD stellen) setzen wir nun einfach ein :[mm]sin \alpha = sin \bruch{\pi}{4} = \bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm].
Nun, warum ist dies nicht gleich? Es ist gleich, wenn man es richtig (wie oben gezeigt) verwendet.
Der Vorteil ist natürlich, dass man je nachdem, wie man den Winkel gegeben hat nicht extra umrechnen muss, sondern gleich berechnen kann. Ein typisches Beispiel wären dafür die komplexen Zahlen. Hier rechnet man fast ausschließlich im Bogenmaß.
> Achso, wie sieht es mit GRAD aus? Ist da der Einheitskreis
> in mehr als 360° geteilt?
Nein, der Einheitskreis hat 360°. Die Feinheit der Unterteilung also die Schritte können natürlich beliebig klein sein, z.B. 0,000001°.
Man kann natürlich auch ein Vielfaches von 360° zu dem Winkel addieren bzw. subtrahieren, dies ändert aber an der effektiven Drehung nichts.
> Vielen Dank für eure Hilfe!
>
> gruss
> wolfgang
>
>
Ich hoffe ich konnte dir mit meinen Erläuterungen helfen
MfG
Christoph
-----> Beachte Ergänzungen und Verbesserung von Event_Horizon
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:46 Do 02.11.2006 | | Autor: | hase-hh |
moin christoph, ja vielen dank das hilft mir sehr weiter!!
nur, dass ich noch nicht weiss warum der GRAD- und DEG-Mode unterschiedliche Ergebnisse liefert.
gruss
wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:17 Do 02.11.2006 | | Autor: | chmul |
> moin christoph, ja vielen dank das hilft mir sehr weiter!!
>
> nur, dass ich noch nicht weiss warum der GRAD- und DEG-Mode
> unterschiedliche Ergebnisse liefert.
Hm, es kommen eigentlich nur falsche Ergebnisse raus, wenn du mit dem Taschenrechner im RAD-Modus eine Gradzahl eingibst. Denn der Taschenrechner geht davon aus, dass du eine Zahl im Bogenmaß eingibst. Also wenn du z.B. aus Versehen statt [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm] 45 eingibst, dann rechnet der Taschenrechner mit [mm] \approx 14,32*\pi \hat= 0,32*\pi.
[/mm]
Dies würde aber der Umrechnung nach in etwa ein Gradwert von 57,6° sein ( daher ist der Unterschied der Ergebnisse auch nicht so groß).
Analog natürlich wenn du versuchst im DEG-Modus eine Zahl im Bogenmaß einzugeben.
> gruss
> wolfgang
Ich hoffe es ist jetzt klarer 
Wenn nicht einfach nochmal schreiben.
MfG
Christoph
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:48 Do 02.11.2006 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo,
Achtung: die Erklärung ist im dritten Teil nicht korrekt, der Einheitskreis ist im Allgemeinem mit [mm] 360^{0} [/mm] definiert, also sin [mm] 90^{0} [/mm] = 1, es gibt aber auch die Möglichkeit, den Einheitskreis mit [mm] 400^{0} [/mm] zu definieren, dann sind sin [mm] 100^{0} [/mm] = 1, dann stelle ich den Taschenrechner auf "GRAD", in diesem System beträgt ein rechter Winkel dann [mm] 100^{0}, [/mm] ein gestreckter Winkel beträgt dann [mm] 200^{0},
[/mm]
Steffi21
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:05 Do 02.11.2006 | | Autor: | chmul |
Hallo Steffi,
meines Wissens ist der Einheitskreis im [mm] \IR^2 [/mm] aber so definiert, dass eine Umdrehung 360° sind. Es ist meiner Meinung nach auch ungeschickt, da die trigonometrischen Funktionen mit 360° operieren. Mir ist eine solche Definition mit 400° bisher noch nicht untergekommen.
Ich kann mich natürlich auch irren. Wär toll, wenn du ein Beispiel hättest, würde mich nämlich interessieren.
MfG
Christoph
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:11 Do 02.11.2006 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo,
wenn man den Kreis mit 400 Grad definiert spricht man von Neugrad oder auch Gon, stelle einfach mal Deinen Taschenrechner auf GRAD und rechne dann von entsprechenden Winkeln den sin aus, zu finden auch bei wikipedia unter Neugrad,
Steffi21
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:28 Do 02.11.2006 | | Autor: | chmul |
Ah, danke Steffi und Event_horizon
jetzt weiß ich endlich mal für was GRAD steht 
und wo man es benutzt gleich auch noch. *freu*
MfG
Christoph
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Da ist ein kleiner Fehler...
Um es nochmal kurz zusammenzuschreiben:
DEG ist das normale Gradsystem. Ein Vollkreis hat 360°
RAD ist das Bogenmaß. Ein Vollkreis hat [mm] $2\pi$
[/mm]
GRAD ist das Neugrad. Hier hat ein Vollkreis [mm] $400^g$ [/mm] (oder 400 gon). Das ist ein technisches System, das z.B. in der Landvermessung gerne benutzt wird, weil man an der Hunderterstelle einfach den Quadranten erkennen kann. Ansonsten hat dieses System keine Bedeutung.
Warum jetzt das Gradsystem mit 360°? Ganz einfach, man wollte eine Zahl, die durch möglichst viele andere Zahlen teilbar ist. Und nenn mir mal eine andere Zahl, die duch mehr Zahlen teilbar ist, also 360.
Das Bogenmaß ist ziemlich unschön, hat aber einen entscheidenden Vorteil:
Wenn du die Länge eines kreisbogens ausrechnen willst (also die Länge der äußeren, gebogenen Seite eines Tortenstücks), wenn du den Winkel kennst, machst du das im Gradmaß so:
[mm] $b=\alpha*\bruch{\pi}{180}*r$ [/mm] wobei r der Radius ist.
Im Bogenmaß ist das aber einfach nur:
[mm] $b=\alpha*r$
[/mm]
Das macht vor allem in der Physik viele Dinge sehr viel einfacher, weil man sich andauernd solche Faktoren wie [mm] \bruch{\pi}{180} [/mm] spart.
Es gibt noch ne ganze Reihe weiterer Vorteile. Letztendlich benutzt man in der Physik nur das Bogenmaß, nur, wenn man mal einen Winkel wirklich anschaulich "präsentieren" will, gibt man ihn kurz im Gradmaß an.
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