Russelsche Antinomie < naiv < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:40 Mo 02.08.2010 | | Autor: | msg08 |
| Aufgabe | Die Russelsche Antinomie besagt ja:
Sei R die Klasse/Menge, die alle Mengen/Klassen beinhaltet, die sich selbst nicht als Element enthalten, dann folgt daraus:
1. Fall: R € R, R ist in R enthalten => R !€ R, R enthält alle solche Klassen/Mengen und ist damit nicht als Element in sich selbst enthalten
2. Fall: R !€ R, R ist nicht in sich enthalten => R € R, R enthält alle Klassen/Mengen, die sich selbst nicht als Element enthalten, also auch sich selbst.
Nun zum Beispiel:
Sei X eine bel. Menge bestehend aus natürlichen Zahlen und P(X) sei die zugehörige Potenzmenge
Behauptung: X und P(X) sind gleichmächtig
=> ss exisitiert eine bijektive Abbildung f von X nach P(X)
=> für alle x € X gilt entweder x € f(x) oder x !€ f(x)
Sei nun U := {x € X|x !€ f(x)}, die Menge der Elemente, die nicht in den von ihnen abgebildeten Mengen enthalten sind
Da f bijektiv ist, muss es ein u € X geben mit f(u) = U:
1. Fall: u € U, u ist in U enthalten => u !€ U, U enthält alle x € X, die nicht in der von ihnen abgebildeten Menge enthalten sind
2. Fall: u !€ U, u ist nicht in U enthalten => u € U, u ist in U enthalten, weil U ja alle x € X enthält, die nicht in der von ihnen abgebildeten Menge enthalten sind
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So, also dieses Beispiel arbeitet ja mit dem Prinzip von Russels Antinomie, nur kriege ich es einfach nicht zusammen.
Zu Russel:
Wir haben ja einfach festgelegt, R enthält alle Klassen/Mengen, die sich selbst nicht als Element enthalten, R kann aber nicht gleichzeitig eine solche Klasse sein und zum Widerspruch sich selbst als Element enthalten.
=> dem wirkte Russel ja mit seiner Typentheorie entgegen, Klassen/Mengen dürfen nur Klassen/Mengen enthalten, die kleineren Typs sind und damit existiert laut Typentheorie ein solches R nicht.
Auf Mengen bezogen, es exisitiert keine Menge mit der Eigenschaft, sich selbst zu enthalten, also Element zu sein und gleichzeitig eben Menge, die sich selbst enthält.
Zum Beispiel:
Man hat sich eine bijektive Abbildung gewählt, die unter Voraussetzung existieren müsste. Weiter hält man einfach die Eigenschaft einer Abbildung von Elementen auf Mengen fest, dass ein Element entweder in der Abbildung enthalten ist oder nicht. Zugespitzt hat man nun die ganze Sache, indem man eine Menge wählt, die es auf jeden Fall gibt. Darf man das? Enthält diese Konstruktion nicht bereits einen gravierenden Fehler? Man behandelt soweit ja alle x € X/{u} und das ist glaube ich der Schlüssel. Also müsste ich mich doch eigentlich fragen, welches Axiom mir eigentlich erlaubt, so ein U zu bauen. Wenn ich mir selbst klarmachen könnte, warum ich dieses U konstruieren darf, würde ich vielleicht eher verstehen, was genau passiert. Also bei Russell erhält man ja den Schluss, dass man kein solches R wählen darf und wenn man hier kein solches U nehmen darf, dürfte ich damit ja nicht argumentieren.
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Hallo msg08,
ich glaube, du gehst von einer fehlerhaften Definition der
Russell'schen Menge aus.
Du schreibst:
Sei R die Menge, die alle Mengen beinhaltet.
Dies sollte aber richtig folgendermaßen lauten:
Sei R die Menge, die alle Mengen enthält, welche nicht Element von sich selbst sind.
LG Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:55 Mo 02.08.2010 | | Autor: | msg08 |
Macht das so einen Unterschied. Laut Wikipedia darf ja auch von Mengen ausgegangen werden:
Oft wird die Russellsche Klasse auch als „Menge aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten“ definiert; das entspricht der damaligen Mengenlehre, die noch nicht zwischen Klassen und Mengen unterschied.
Am Klassenbegriff festgemacht heisst es doch, es gibt keine solche Klasse R. Wobei man ja jetzt einfach die Mengen verfeinert und sagt, es seien Klassen, die sich selbst nicht als Element enthalten. Schlussendlich ändert es ja nichts. Trotzdem berechtigter Einwand, so habe ich Russel ja nicht richtig wiedergebeben. Entschuldigung.
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Hiho,
ich glaube du mischst da Dinge durcheinander, denn die Russellsche Antinomie hat mit dem Beweis (bis auf die Ähnlichkeit der Argumentation) nichts zu tun.
Problem bei Russel: Bei Russel kommt der Widerspruch dadurch zustande, dass es keine Menge gibt, die sich selbst als Element enthalten kann, soweit ist es ja klar.
Bei deinem Beweis, dass [mm] \IN [/mm] eine echt kleinere Mächtigkeit als ihre Potenzmenge besitzt, tritt dieser Widerspruch allerdings nicht auf, denn einmal haben wir Elemente und einmal Mengen.
Ok, betrachten wir uns den Beweis nochmal genauer:
Wir nehmen an, [mm] \IN [/mm] und [mm] \mathcal{P}(\IN) [/mm] seien gleichmächtig, dann gibt es eine Bijektion $f: [mm] \IN \to \mathcal{P}(\IN)$, [/mm] d.h. f bildet jede natürliche Zahl auf eine Teilmenge der natürlichen Zahlen ab.
Das könnte dann z.B. so aussehen:
$1 [mm] \mapsto \{3,5,22,910,10^6\} [/mm] = f(1)$
$2 [mm] \mapsto \{1,2,3,4,5,6\} [/mm] = f(2)$
oder halt ganz anders 
Nun betrachten wir also für jedes [mm] $x\in\IN$ [/mm] ob [mm] $x\in [/mm] f(x)$ oder $x [mm] \not\in [/mm] f(x)$.
Beispielsweise würde für unser Beispiel gelten:
$1 [mm] \not\in \{3,5,22,910,10^6\} [/mm] = f(1)$
$2 [mm] \in \{1,2,3,4,5,6\} [/mm] = f(2)$
Wie man also feststellt, prüft man hier wirklich, ob ein Element in einer Menge enthalten ist, und das geht ganz problemfrei und vorallem ganz ohne Russel.
So kann man also für jede natürliche Zahl [mm] $x\in\IN$ [/mm] entscheiden, ob [mm] $x\in [/mm] U$ oder [mm] $x\not\in [/mm] U$.
Verstehst du dann den Rest des Beweises dann allein oder brauchst du da auch noch Erklärungen?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:44 Mo 02.08.2010 | | Autor: | msg08 |
Also soweit habe ich den Zusammenhang ja nicht selbst geschlossen. Ich habe irgendwo einfach mal gelesen, dass es hierbei einen Zusammenhang gibt, wobei er für mich nicht sichtbar war.
Ansonsten erklärst du mir ja nur meinen Beweis, den ich verstehe. Einen Zusammenhang gibt es laut deiner Äusserung schon mal nicht zu Russell. Dafür möchte ich mich bedanken, weil ich damit ja auf dem falschen Dampfer war, wenn du damit auch Recht hast. Ich komme einfach nicht weiter, auch wenn ich den Beweis selbst führen kann und verstehe, was passiert.
Letztendlich möchte ich einfach wissen, warum ich den Beweis so machen darf. Ich verstehe ja wie der Beweis arbeitet, aber mir fehlt einfach dieses warum darf ich so argumentieren, habe ja auch ganz klar auf mein Problem verwiesen. Ich will wissen, warum ich so ein U konstruieren darf. Laut Russell könnte ich sagen, es gibt ein solches U einfach nicht und müsste diesen Beweis so ja wegschmeissen. Laut dir hat es nichts mit Russell zu tun, also muss ich woanders ansetzen.
Induktiv vorgegangen könnte man ja auch sagen, unser f(x) bildet jeweils eine Menge ab, in der x enthalten ist, also sowas f(x) = {...,x,...} und damit gelte ja U = {}. Aber damit kann ich nicht wirklich was anfangen.
Also ich möchte nicht den Beweis verstehen, sondern eine Erklärung haben, wieso ich mir so ein U konstruieren darf und schliesslich wo hier der logische Fehler ist, der dieses Paradoxon erklärt. Nicht sowas, logisch schlussgefolgert erhalte ich einen solchen Widerspruch, also gibt es keine solche bijektive Abbildung und damit sind IN und P(IN) nicht gleichmächtig. Also das reicht mir hier einfach nicht. Also ich möchte halt so dieses greifbar machen. Vielleicht kann man es irgendwie anschaulich machen.
Ansonsten gibt es ja noch ein schönes Beispiel mit Bürgermeistern und Städten.
In der Stadt Alpha leben alle Bürgermeister, die nicht in ihrer Amtsstadt ansässig sind.
Wo wohnt der Bürgermeister der Stadt Alpha.
Das hilft mir aber leider alles nicht.
Ausserdem lässt sich hier auch leicht erklären, dass ich mir so eine Stadt Alpha nicht wählen darf. Der Bürgermeister lebt irgendwo. Also bezogen auf die Stadt Alpha betrachte ich nicht die Menge aller Bürgermeister, sondern derer ohne den Alpha-Bürgermeister. Hier darf ich mir also keine solche Stadt konstruieren, in der der Bürgermeister der Stadt Alpha einbezogen wird.
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Auf ein Neues 
> Ich will wissen, warum ich so ein U konstruieren darf.
Erstmal definieren wir ja das U, zur Wiederholung nochmal:
$U := [mm] \{x \in \IN | x \not\in f(x)\}$
[/mm]
D.h. wir fragen uns erstmal nur: Gibt es natürliche Zahlen x mit der Eigenschaft $x [mm] \not\in [/mm] f(x)$, wenn ja, packen wir sie in U rein, wenn nicht, ist U eben leer. Der Vollständigkeit halber halten wir noch fest, dass $f(x)$ Elemente der Potenzmenge und damit Teilmengen von [mm] \IN [/mm] sind.
D.h. die die Frage $x [mm] \not\in [/mm] f(x)$ oder $x [mm] \in [/mm] f(x)$ macht überhaupt Sinn!
Da ist bisher nichts spannendes dran, denn wir stellen fest:
1.) U kann leer sein, dann gilt halt $U = [mm] \emptyset$ [/mm] und damit ist U in der Potenzmenge enthalten
2.) U ist nicht leer, dann gibt es natürliche Zahlen mit obiger Eigenschaft, die in U drinstecken, d.h. U selbst ist ein Element der Potenzmenge von [mm] \IN, [/mm] da U nur natürliche Zahlen enthält.
Nichts hält dich davon ab, das mit der naiven Mengenleere zu machen, denn du fasst einfach Elemente (in diesem Fall natürliche Zahlen) zu einer Menge zusammen, genauso wie du die Zahlen 1,2 und 3 zur Menge [mm] $\{1,2,3\}$ [/mm] zusammenfassen kannst.
Ebenso könnte ich eine Menge definieren:
$A = [mm] \{x\in \IN | x \text{ ist durch 2 teilbar }\}$, [/mm] da prüfe ich ja auch für jede Zahl, ob sie in A ist oder nicht und heraus kommt eben $A = [mm] \{2,4,6,\ldots\}$
[/mm]
Hast du daran denn je gezweifelt?
> Induktiv vorgegangen könnte man ja auch sagen, unser f(x) bildet jeweils eine Menge ab
Nein, f bildet eine Zahl auf eine Menge f(x) ab.
D.h. f(x) selbst ist eine Menge und eben keine Zahl!
> in der x enthalten ist, also sowas f(x) = {...,x,...}
Nein, wieso sollte das gelten? Wie oben bereits geschrieben, könnte eine Zahl wie bspw. 1 ja auch auf [mm] $\{2,3,4,5\}$ [/mm] abgebildet werden, und da ist 1 offensichtlich nicht drin.
D.h. gelten MUSS das nicht, aber es KÖNNTE gelten.
> und damit gelte ja U = {}
Korrekt, dann (also wenn man annimmt, dass x immer in f(x) enthalten wäre, was du ja oben getan hast) swäre U leer. Und die leere Menge ist ein Element der Potenzmenge, d.h. es müsste dann ein [mm] $u\in\IN$ [/mm] geben , so dass $f(x) = U$ (da f ja eine Bijektion ist). Dies würde aber sofort zu einem Widerspruch führen, da du vorhin ja angenommen hast, dass f(x) immer von der Form [mm] $\{\ldots,x,\ldots\}$ [/mm] ist, also mindestens x enthält, also würde ja gelten $f(u) = [mm] \{\ldots,u,\ldots\} [/mm] = U = [mm] \emptyset$, [/mm] was ein Widerspruch ist.
> Also ich möchte nicht den Beweis verstehen, sondern eine
> Erklärung haben, wieso ich mir so ein U konstruieren darf
Naja, du darfst erstmal natürliche Zahlen auf bestimmte Eigenschaften überprüfen und diese Zahlen dann in einer Menge zusammenfassen. Gibt es keine, ist U halt leer, aber das stört uns für den Beweis auch nicht.
> Nicht sowas, logisch schlussgefolgert erhalte ich einen solchen Widerspruch,
> also gibt es keine solche bijektive Abbildung und damit
> sind IN und P(IN) nicht gleichmächtig.
Mehr ist es aber nicht. Du nimmst ja schon was falsches an, denn es gibt ja keine solche Abbildung. Und wenn du etwas falsches Voraussetzt, kommt da selten etwas greifbares raus....
>Also das reicht mir hier einfach nicht. Also ich möchte halt so dieses
> greifbar machen. Vielleicht kann man es irgendwie
> anschaulich machen.
Das ist bei unendlichen Mengen halt sehr schwer, aber du könntest den Beweis auf endliche Mengen herunterbrechen um ihn (dann vielleicht besser) zu verstehen.
MFG,
Gono.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:29 Mo 02.08.2010 | | Autor: | msg08 |
Hmm, also irgendwie machst du dir die größten Mühen, mir zu erklären, wie man mathematisch so vorgeht. Wahrscheinlich hätte ich mich direkt auf das Formelle konzentrieren sollen und u.a. zum Formeleditor und kurzen Äusserungen gegriffen. So sähe glaube ich auch alles besser begriffen aus. So ein Prosatext und eine laienhafte Formaldarstellung macht keinen geübten Eindruck. Kann ich verstehen. Aber mein Problem wird dadurch ja nicht besser.
Zum Ausgangsproblem. Klar, man nimmt etwas Falsches an und erhält was Falsches, schon hat man was man wollte. Man zeigte, dass das, was nicht stimmen darf, nicht stimmt.
Zu meiner Frage, warum darf ich mir so ein U wählen.
1. Ich weiss, f ist eine bijektive Abbildung, also egal wie ich mir mein U mit Elementen aus IN zusammensetze, es muss exisitieren. Insofern betrachte ich auf jeden Fall eine Element aus P(IN), also eine Teilmenge mit Elementen aus IN richtig.
2. Ich weiss nach wie vor, f ist bijektiv und das lässt ja auch die Annahme zu, dass es ein u gibt mit f(u) = U.
3. Nun darf ich ja einfach mal schauen und mit den Mengeneigenschaften von U an u arbeiten und das führt ja beide Male zum Widerspruch.
Klar, wenn man es so für sich abhakt, gibt es da nichts weiter und man ist fertig und meine ganze Fragerei wirkt total komisch, weil ich nach etwas frage, das es irgendwie nicht gibt, stimmts ;).
Vielleicht drück ich mich nicht genau genug aus, jedenfalls habe ich ein Problem mit U. Also der bringt mich einfach total durcheinander. Ausserdem bekräftigt doch mein schönes Städte-Bürgermeister Beispiel mit der toll bezeichneten Stadt Alpha meinen Zweifel, dass hier was nicht stimmt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:34 Mo 02.08.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Ich lass dir Frage mal offen, vielleicht bringt ja ein anderer Ansatz mehr Klarheit für dich.
Meine Vermutung ist ja, dass du dich selbst durcheinanderbringst, weil man mit Mengen arbeitet, die es halt gar nicht geben kann.
Man schließt ihre Existenz halt aus (falschen) Annahmen.
Es ist klar, dass U nicht existieren kann und somit wirst du dir U auch nicht vorstellen können, wie du es vielleicht gern hättest.
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:44 Mo 02.08.2010 | | Autor: | msg08 |
> Ich lass dir Frage mal offen, vielleicht bringt ja ein
> anderer Ansatz mehr Klarheit für dich.
>
> Meine Vermutung ist ja, dass du dich selbst
> durcheinanderbringst, weil man mit Mengen arbeitet, die es
> halt gar nicht geben kann.
> Man schließt ihre Existenz halt aus (falschen) Annahmen.
> Es ist klar, dass U nicht existieren kann und somit wirst
> du dir U auch nicht vorstellen können, wie du es
> vielleicht gern hättest.
>
> MFG,
> Gono.
Ja, es beschäftigt mich einfach noch. Vielleicht fällt jemandem noch was Nettes zu ein oder mir fällt was zu ein.
Vielen lieben Dank
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 21:11 Mo 02.08.2010 | | Autor: | msg08 |
Also ich habe einfach ein Problem mit U.
Man arbeitet mit Elementen aus IN und darf folgerichtig mit f arbeiten und damit ergibt sich ja der Beweis.
Nur fällt mir einfach die Akzeptanz schwer, so ein U konstruieren zu dürfen.
Also man darf ja insoweit, weil man mit Elementen aus IN arbeitet.
Nur führt ja eben die Definition letztendlich zum Widerspruch.
Also habe ich doch U falsch konstruiert.
Also obwohl meine Annahmen zwar falsch waren, hat das ja erstmal so nichts damit zu tun.
Ich arbeite also im Beweis selbst mit einem falschen Beweisschlüssel, der Menge U.
also die Logikkette wird bei durch U unterbrochen
Annahme f bijektiv --> falsche Folgerung --> darf nicht weiterarbeiten
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:14 Mo 02.08.2010 | | Autor: | gfm |
Annahme: Es existiere ein SURJEKTIVES [mm] f:\IN\to2^\IN. [/mm] Dann gäbe es ein [mm] U_f:=\{n\in\IN:n\not\in f(n)\} [/mm] mit [mm] U_f\in2^\IN [/mm] ALS BILD [mm] f(n_{U_f}) [/mm] eines entsprechenden [mm] n_{U_f}\in\IN, [/mm] was den Widerspruch offenbar werden läßt, welcher sich durch Verwerfung der Annahme heilen ließe, da man dann nicht zur Annahme der Existenz von [mm] U_f [/mm] im Bild von f genötigt würde.
Die Annahme der Surjektivität von f löst den Widerspruch aus, denn sie erzwingt fatalerweise Existenz von [mm] U_f [/mm] im Bild von f, was in jedem Fall zu einem Widerspruch führt. Denn unabhängig von der Surjektivität, könnte man ja [mm] U_f\in f(\IN) [/mm] annehmen und man würde beim gleichen Widerspruch landen. Es sollte also KEIN [mm] f:\IN\to2^\IN [/mm] mit [mm] \{n\in\IN:n\not\in f(n)\}\in f(\IN) [/mm] geben.
An der Konstruktion von [mm] U_f [/mm] an sich ist nichts Verwerfliches. Es sind zu einem gegebenen f halt die Argumente, deren Bilder sie nicht enthalten, z.B. für [mm] f(n):=\IN\backslash\{n\} [/mm] ist [mm] U_f=\IN.
[/mm]
Der Widerspruch entsteht durch den widersprüchlichen Widereintritt von f in Ihre eigene Form über die Existenz eines Urbild [mm] n_{\{k\in\IN:k\not\in f(k)\}} [/mm] zu [mm] \{k\in\IN:k\not\in f(k)\} [/mm] sodass
[mm] \{k\in\IN:k\not\in f(k)\}=f(n_{\{k\in\IN:k\not\in f(k)\}})
[/mm]
in eimem Paradoxon endet, was in der naiven Mengenlehre nicht sinnvoll abgefangen wird (oder werden kann, da bin ich zu wenig Experte).
LG
gfm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:22 Mo 02.08.2010 | | Autor: | msg08 |
Ja, ist dasselbe mal mit surjektiv und der Annahme, U konstruieren zu dürfen und den damit entstehenden richtigen logischen Folgerungen. Eine schöne Ausdrucksweise, die gefällt mir :).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:47 Mo 02.08.2010 | | Autor: | gfm |
Ließ noch mal...
LG
gfm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:00 Mo 02.08.2010 | | Autor: | msg08 |
Habe ich. Ich möchte mich vorweg schon mal für meine anhaltende Sturrheite entschuldigen, die mich selbst auch schon anfängt zu nerven. Ich habe selbst keine Lust mehr diesen blöden Knoten eher zu straffen als zu lösen.
Die Mathematik ist für mich einfach ein großes Heiligtum, die Quelle der Kraft, aus der man unbegrenzt schöpfen kann. Sie macht einfach vieles so vollkommen und eben hier ist auch meine Sturrheit begründet.
Es ist einfach nicht rund für mich. Man darf ein U konstruieren, indem man sich spezielle Elemente greift, wobei man doch spätestens nach einem ersten Durchspielen des Beweises begreift, das dieses Paradoxon alles kaputt macht und ich meine rückwirkend ist doch klar, dass an der Konstruktion von U ein Irrtum als Quell des Eifers liegt. Strebt man nach der Vollkommenheit muss man doch daran arbeiten, zu verstehen, was hier genau geschehen ist und es notfalls ausmerzen, um weiterhin eine logisch vollkommene Mathematik zu erhalten. Ja, ich glaube nach wie vor, dass man bei der Konstruktion von U logisch falsch vorgeht. Nur warum, weiss ich nicht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:03 Mo 02.08.2010 | | Autor: | msg08 |
U ist einfach falsch konstruiert. Man darf nur mit allen Elementen ohne dem u aus IN arbeiten, welches eben unter f(u) U abbildet. Wieso, kann ich bislang nur mit der folgenden Paradoxie erklären, was ja als Widerspruch genützt wird, um die Annahme der Gleichmächtigkeit zu widerlegen und nicht hinzugezogen wird, um U selbst als fehlerhaften Gedankengang zu deklarieren. Ausserdem macht mein naives Städtebeispiel deutlich, dass die Konstruktion einer zu U analogen StadtAlpha für jeden schnell begreifbar, einfach nach einfachsten logischen Gedankengängen nicht haltbar ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:22 Di 03.08.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> U ist einfach falsch konstruiert. Man darf nur mit allen
> Elementen ohne dem u aus IN arbeiten, welches eben unter
> f(u) U abbildet.
Man darf erstmal alles konstruieren. Und das U ist eine direkte Folgerung aus dem gegebenem f.... und ja, wie du dann feststellst, muss das f dann also falsch sein.
Aber wenn du wirklich glücklich werden willst: ![[]](/images/popup.gif) Schau dir das an.
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:41 Di 03.08.2010 | | Autor: | msg08 |
Ich les es mir mal durch und schau selbst, inwieweit mir das weiterhilft.
Letztendlich möchte ich ja nur für mich selber klarhaben, warum ich dieses U konstruieren darf. Nach meinem jetzigen Stand der Logik ist das problematisch und ich habe es für meine Begriffe mit meinen Erläuterungen ausreichend gestützt. So eitel bin ich jetzt einfach, dies zu behaupten, was mich trotz aller Unsicherheit einfach meinem Gefühl nach am weitesten bringt. Also für mich ist das Thema noch nicht beendet, aber ich habe dank dir wieder einen neuen Ansatzpunkt. Vielen Dank.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:35 Di 03.08.2010 | | Autor: | gfm |
> U ist einfach falsch konstruiert. Man darf nur mit allen
> Elementen ohne dem u aus IN arbeiten, welches eben unter
> f(u) U abbildet. Wieso, kann ich bislang nur mit der
> folgenden Paradoxie erklären, was ja als Widerspruch
> genützt wird, um die Annahme der Gleichmächtigkeit zu
> widerlegen und nicht hinzugezogen wird, um U selbst als
> fehlerhaften Gedankengang zu deklarieren.
Was ist denn Deiner Meinung nach fehlerhaft an z.B. [mm] \{k:k\not\in \IN\backslash\{n\}\}?
[/mm]
Ausserdem macht
> mein naives Städtebeispiel deutlich, dass die Konstruktion
> einer zu U analogen StadtAlpha für jeden schnell
> begreifbar, einfach nach einfachsten logischen
> Gedankengängen nicht haltbar ist.
Hat Dein Beispiel nicht folgende Struktur?
Es gibt eine Funktion [mm] g:S\to2^S [/mm] (mit [mm] g(s)\cap g(s')=\emptyset [/mm] für [mm] s\not=s'), [/mm] so dass für ein [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] gelte [mm] \alpha\in g(\beta) [/mm] und [mm] g(\alpha)=E_f:=\{s\in S:\exists_{\gamma\in S}s\in g(\gamma)\wedge s\not\in g(s)\}. [/mm]
Die ganze Misere liegt im Gleichsetzen von [mm] g(\alpha) [/mm] und [mm] E_f [/mm] selber. [mm] E_f [/mm] kann nicht im Bild von f enthalten sein.
[mm] g(\alpha) [/mm] ist per definitionem eine Menge. Eine Menge enthält. Dadurch dass man Sie gleichsetzt mit der Vereinigung von Elementen, die nicht enthalten werden, insbesondere auch nicht von der Menge selber, fängt man sich den Widerspruch ein.
An der Bildung der Menge [mm] E_f [/mm] der Bürgermeister, die nicht in Ihrer eigenen Stadt residieren, ist an sich nichts Verwerfliches. Wenn Du sie jetzt alle in eine Stadt [mm] \alpha [/mm] stecken willst und [mm] \alpha [/mm] einen Bürgermeister hat, kanst Du das nur mit der Menge [mm] \{s\in S:\exists_{\gamma\in S}s\in g(\gamma)\wedge s\not\in g(s)\wedge s\not=\alpha\} [/mm] machen.
Richtigerweise müßte man sagen, dass in Alphastadt alle Bürgermeister ANDERER Städte, die einen Bürgermeister haben, residieren, die nicht in Ihrer eigenen Stadt residieren. Ansonsten sagst verklauseliert aus, dass der Alphastadtbürgermeister in Alphastadt residiert und gleichzeitig nicht in Alphastadt residiert.
LG
gfm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:58 Di 03.08.2010 | | Autor: | msg08 |
> > U ist einfach falsch konstruiert. Man darf nur mit allen
> > Elementen ohne dem u aus IN arbeiten, welches eben unter
> > f(u) U abbildet. Wieso, kann ich bislang nur mit der
> > folgenden Paradoxie erklären, was ja als Widerspruch
> > genützt wird, um die Annahme der Gleichmächtigkeit zu
> > widerlegen und nicht hinzugezogen wird, um U selbst als
> > fehlerhaften Gedankengang zu deklarieren.
>
> Was ist denn Deiner Meinung nach fehlerhaft an z.B.
> [mm]\{k:k\not\in \IN\backslash\{n\}\}?[/mm]
nichts, trotzdem bilde ich im Nachhinein ein falsches U, ob bewusst oder erstmal unbewusst und damit ist das irgendwie nicht weiter hilfreich
>
> Ausserdem macht
> > mein naives Städtebeispiel deutlich, dass die Konstruktion
> > einer zu U analogen StadtAlpha für jeden schnell
> > begreifbar, einfach nach einfachsten logischen
> > Gedankengängen nicht haltbar ist.
>
> Hat Dein Beispiel nicht folgende Struktur?
>
> Es gibt eine Funktion [mm]g:S\to2^S[/mm] (mit [mm]g(s)\cap g(s')=\emptyset[/mm]
S ist die Menge aller Bürgermeister, [mm] 2^S [/mm] sind meine Städte und unter g wird jedem Bürgermeister aus S eine Stadt zugeordnet.
> für [mm]s\not=s'),[/mm] so dass für ein [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] gelte
Ist injektiv, also ein Bürgermeister ist nur Bürgermeister einer Stadt und jede Stadt hat genau einen Bürgermeister.
> [mm]\alpha\in g(\beta)[/mm] und [mm]g(\alpha)=E_f:=\{s\in S:\exists_{\gamma\in S}s\in g(\gamma)\wedge s\not\in g(s)\}.[/mm]
>
Ja, wenn jetzt ein Bürgermeister nicht in seiner Stadt residiert, so wohnt er in der Stadt mit all den Eigenbürgermeisterstadtnichtwohnhaftseinstadt und ganz genau, diese Stadt wird von einem Bürgermeister aus S geführt, wobei ich hier aber darauf verweise, S/{a} zu nehmen.
> Die ganze Misere liegt im Gleichsetzen von [mm]g(\alpha)[/mm] und
> [mm]E_f[/mm] selber. [mm]E_f[/mm] kann nicht im Bild von f enthalten sein.
>
genau,
> [mm]g(\alpha)[/mm] ist per definitionem eine Menge. Eine Menge
> enthält. Dadurch dass man Sie gleichsetzt mit der
> Vereinigung von Elementen, die nicht enthalten werden,
> insbesondere auch nicht von der Menge selber, fängt man
> sich den Widerspruch ein.
>
Ja genau, man betrachtet eine Menge und eine Vereinigung aus mengenstellvertretenden Elementen. Nur liegt es ja an den Konventionen der Menge, dass ich so eine Vereinigung nicht bilden kann und das ist verwerflich.
> An der Bildung der Menge [mm]E_f[/mm] der Bürgermeister, die nicht
> in Ihrer eigenen Stadt residieren, ist an sich nichts
> Verwerfliches.
Naiv gedacht nicht.
Wenn Du sie jetzt alle in eine Stadt [mm]\alpha[/mm]
> stecken willst und [mm]\alpha[/mm] einen Bürgermeister hat, kanst
> Du das nur mit der Menge [mm]\{s\in S:\exists_{\gamma\in S}s\in g(\gamma)\wedge s\not\in g(s)\wedge s\not=\alpha\}[/mm]
> machen.
>
Ja genau, der Bürgermeister von [mm] \alpha [/mm] ist nicht gleichzeitig Bewohner von [mm] \alpha.
[/mm]
> Richtigerweise müßte man sagen, dass in Alphastadt alle
> Bürgermeister ANDERER Städte, die einen Bürgermeister
> haben, residieren, die nicht in Ihrer eigenen Stadt
> residieren. Ansonsten sagst verklauseliert aus, dass der
> Alphastadtbürgermeister in Alphastadt residiert und
> gleichzeitig nicht in Alphastadt residiert.
Ganz genau.
>
> LG
>
> gfm
Ich habe jetzt nochmal dank weiterer Mitteilungen neue Ansätze und werde da weiterschauen.
Danke für dein beherztes Engagment.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:18 Di 03.08.2010 | | Autor: | gfm |
> > Was ist denn Deiner Meinung nach fehlerhaft an z.B.
> > [mm]\{k:k\not\in \IN\backslash\{n\}\}?[/mm]
>
> nichts, trotzdem bilde ich im Nachhinein ein falsches U, ob
> bewusst oder erstmal unbewusst und damit ist das irgendwie
> nicht weiter hilfreich
> > Die ganze Misere liegt im Gleichsetzen von [mm]g(\alpha)[/mm] und
> > [mm]E_f[/mm] selber. [mm]E_f[/mm] kann nicht im Bild von f enthalten sein.
> >
>
> genau,
> > [mm]g(\alpha)[/mm] ist per definitionem eine Menge. Eine Menge
> > enthält. Dadurch dass man Sie gleichsetzt mit der
> > Vereinigung von Elementen, die nicht enthalten werden,
> > insbesondere auch nicht von der Menge selber, fängt man
> > sich den Widerspruch ein.
> >
>
> Ja genau, man betrachtet eine Menge und eine Vereinigung
> aus mengenstellvertretenden Elementen. Nur liegt es ja an
> den Konventionen der Menge, dass ich so eine Vereinigung
> nicht bilden kann und das ist verwerflich.
>
> Danke für dein beherztes Engagment.
Vielen Dank. Aber ein Punkt stimmt mich noch unglücklich:
Du stimmst zu, dass
1) an [mm]\{k:k\not\in \IN\backslash\{n\}\}[/mm] nichts Fehlerhaftes ist.
und verfällts dann wieder in die pauschale Aussage, dass U (hier [mm] E_f) [/mm] falsch sei, obwohl obige Menge ein Beispiel für U ist, wenn man [mm] f(n):=\IN\backslash\{n\}, [/mm] um die Bildung von U als solches als wohldefiniert zu veranschaulichen.
2) der Widerspruch durch die Annahme U sei im Bild von f entsteht
um dann wieder den Widerspruch auf die Konstruktion von U abzuwälzen.
Die Struktur Deiner Gedanken an dieser Stelle sind für mich mindestens genauso widersprüchlich und nebulös, wie das, was Du als widersprüchlich zu identifizieren versuchst.
Gegeben ist doch eine Mengenfamilie [mm] U_n [/mm] von Teilmengen von [mm] \IN. [/mm] Wenn für jedes [mm] U_n [/mm] entschieden werden kann, ob [mm] n\in U_n [/mm] falsch ist, dann kann man auch die Menge [mm] U:=\{n: \neg(n\in U_n)\} [/mm] bilden. Wo aus Deiner Sicht ist bis hierhin ein Problem? Dass man annimmt, immer evaluieren zu können, ob [mm] n\in U_n [/mm] der Fall ist? Oder dass man in Abhängigkeit von dieser Evaluation immer ein n der Menge U hinzufügen kann?
Findest Du nicht vielmehr, dass der anschließende Zirkelschluss [mm] \exists [/mm] k: [mm] \{n: \neg(n\in U_n)\}=U_k [/mm] die Struktur von [mm] M=\{x:\neg(x\in M)\} [/mm] hat, in der M in Ihre eigene Form auf eine widersprüchliche Weise widereintritt und ein Paradoxon auslöst. Und genau das passiert im Umweg über f, wenn man annimmt, dass die Vereinigungen der Elemente, die nicht in einem Bild einer Abbildung auf einer Menge in Ihre Potenzmenge vorhanden sind, im Bild von f auftritt. Diese Annahme führt letztendlich auf eine Menge, die Elemente enthalten soll, die in Ihr nicht enthalten sind, weil nämlich bei dieser Vereinigung der Argumente von f, die nicht im Bild von f enthalten sind, UNWEIGERLICH eine Menge entsteht, die von f nicht erreicht wird, weil die Potenzmenge offenbar echt mächtiger ist als die zugrundeliegende Menge. Und wenn man f abzuändern versucht, indem man eine eben noch nicht erreichte Teilmenge unter Aufgabe eines anderen Bildes in die Bildmenge aufnimmt, wird man unweigerlich wieder Schiffbruch erleiden.
Da ist doch schon an ganz einfachen naiven Beispielen klar:
[mm] S:=\{1\}, 2^S=\{\emptyset, S\}: [/mm] Wenn [mm] f(1)=\emptyset, [/mm] dann ist U=S und wenn f(1)=S, dann ist [mm] U=\emptyset. [/mm] Oder: [mm] S:=\{1,2\}, 2^S=\{\emptyset, \{1\},\{2\}, S\}. [/mm] Auch hier sieht man wieder, dass egal wie man nun die Bilder von f(1) und f(2) wählt, man für U eine Menge erhält, welche nicht als Bild auftaucht, was ja auch klar ist, denn man konstruiert sich ja U so, dass dort n enthalten sind, die NICHT in Ihrem zugehörigen Bild enthalten sind.
Also läuft der ganze Beweis letztendlich auf die Konstruktion [mm] M=\{x:x\not\in M\} [/mm] hinaus, von der zumindest nicht enschieden werden kann, welche Elemente sie enthält. Und insofern man ein solches Resultat als Äquivalenz zur Widersprüchlichkeit der Annahme postuliert, hätte man das Gegenteil bewiesen.
LG
gfm
P.S.: Und man kann sich dem ganzen auf scheibchenweise nähern:
Wenn [mm] #(S)=k\in\IN, [/mm] dann gibt es [mm] 2^k [/mm] Teilmengen und es ist sofort klar, dass nicht alle Teilmengen erreicht werden können. Wenn S unendlich ist, enthält S eine Teilmenge, die bijektiv auf [mm] \IN [/mm] abgebildet werden kann. Und hier ist schon mit dem Cantorschen Diagonalverfahren ersichtlich, das man Schiffbruch erleiden wird.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:06 Di 03.08.2010 | | Autor: | msg08 |
> > > Was ist denn Deiner Meinung nach fehlerhaft an z.B.
> > > [mm]\{k:k\not\in \IN\backslash\{n\}\}?[/mm]
> >
> > nichts, trotzdem bilde ich im Nachhinein ein falsches U, ob
> > bewusst oder erstmal unbewusst und damit ist das irgendwie
> > nicht weiter hilfreich
>
> > > Die ganze Misere liegt im Gleichsetzen von [mm]g(\alpha)[/mm] und
> > > [mm]E_f[/mm] selber. [mm]E_f[/mm] kann nicht im Bild von f enthalten sein.
> > >
> >
> > genau,
>
> > > [mm]g(\alpha)[/mm] ist per definitionem eine Menge. Eine Menge
> > > enthält. Dadurch dass man Sie gleichsetzt mit der
> > > Vereinigung von Elementen, die nicht enthalten werden,
> > > insbesondere auch nicht von der Menge selber, fängt man
> > > sich den Widerspruch ein.
> > >
> >
> > Ja genau, man betrachtet eine Menge und eine Vereinigung
> > aus mengenstellvertretenden Elementen. Nur liegt es ja an
> > den Konventionen der Menge, dass ich so eine Vereinigung
> > nicht bilden kann und das ist verwerflich.
>
> >
> > Danke für dein beherztes Engagment.
>
> Vielen Dank. Aber ein Punkt stimmt mich noch unglücklich:
>
> Du stimmst zu, dass
>
> 1) an [mm]\{k:k\not\in \IN\backslash\{n\}\}[/mm] nichts Fehlerhaftes
> ist.
>
> und verfällts dann wieder in die pauschale Aussage, dass U
> (hier [mm]E_f)[/mm] falsch sei, obwohl obige Menge ein Beispiel für
> U ist, wenn man [mm]f(n):=\IN\backslash\{n\},[/mm] um die Bildung
> von U als solches als wohldefiniert zu veranschaulichen.
>
Ja, für mich gibt es einfach keinen Zusammenhang zu U. Ich konstruiere mir eine Menge, die als Abbildung keine Probleme mit sich führt, genauer keinerlei Paradoxien hervorruft.
> 2) der Widerspruch durch die Annahme U sei im Bild von f
> entsteht
>
> um dann wieder den Widerspruch auf die Konstruktion von U
> abzuwälzen.
>
Ja, ich finde es einfach gefährlich, so ein U zu bilden.
> Die Struktur Deiner Gedanken an dieser Stelle sind für
> mich mindestens genauso widersprüchlich und nebulös, wie
> das, was Du als widersprüchlich zu identifizieren
> versuchst.
>
Ich sage ja auch ganz ehrlich, keine richtig tolle Erklärung für zu finden. Aber trotzdem fühle ich ganz deutlich, da stimmt einfach was nicht und halte nach wie vor daran fest. Noch fehlt mir so dieser Haken am Ende der Konstruktion von U.
> Gegeben ist doch eine Mengenfamilie [mm]U_n[/mm] von Teilmengen von
> [mm]\IN.[/mm] Wenn für jedes [mm]U_n[/mm] entschieden werden kann, ob [mm]n\in U_n[/mm]
> falsch ist, dann kann man auch die Menge [mm]U:=\{n: \neg(n\in U_n)\}[/mm]
> bilden. Wo aus Deiner Sicht ist bis hierhin ein Problem?
> Dass man annimmt, immer evaluieren zu können, ob [mm]n\in U_n[/mm]
> der Fall ist? Oder dass man in Abhängigkeit von dieser
> Evaluation immer ein n der Menge U hinzufügen kann?
>
Also soweit sehe ich keine Probleme. U wird gefüllt und weiter auch disjunkt zu [mm] U_n [/mm] in Ruhe gelassen.
> Findest Du nicht vielmehr, dass der anschließende
> Zirkelschluss [mm]\exists[/mm] k: [mm]\{n: \neg(n\in U_n)\}=U_k[/mm] die
> Struktur von [mm]M=\{x:\neg(x\in M)\}[/mm] hat, in der M in Ihre
> eigene Form auf eine widersprüchliche Weise widereintritt
> und ein Paradoxon auslöst.
ich finde das ist einfach falsch. Wie kann man sich eine Menge konstruieren, die Elemente hat, die nicht in M enthalten sind. Soll das die leere Menge sein? U ist eben eine machbare Konstruktion, insoweit man sich ja Elementen einer gegebenen Menge und einer gegebenen Eigenschaft, nämlich f bedient. Nur finde ich es unzulässig und damit falsch.
Und genau das passiert im Umweg
> über f, wenn man annimmt, dass die Vereinigungen der
> Elemente, die nicht in einem Bild einer Abbildung auf einer
> Menge in Ihre Potenzmenge vorhanden sind, im Bild von f
> auftritt. Diese Annahme führt letztendlich auf eine Menge,
> die Elemente enthalten soll, die in Ihr nicht enthalten
> sind, weil nämlich bei dieser Vereinigung der Argumente
> von f, die nicht im Bild von f enthalten sind, UNWEIGERLICH
> eine Menge entsteht, die von f nicht erreicht wird, weil
> die Potenzmenge offenbar echt mächtiger ist als die
> zugrundeliegende Menge. Und wenn man f abzuändern
> versucht, indem man eine eben noch nicht erreichte
> Teilmenge unter Aufgabe eines anderen Bildes in die
> Bildmenge aufnimmt, wird man unweigerlich wieder
> Schiffbruch erleiden.
>
Ja, die Konstruktion beruht auf einem Fehler und ist nicht zulässig.
> Da ist doch schon an ganz einfachen naiven Beispielen
> klar:
>
> [mm]S:=\{1\}, 2^S=\{\emptyset, S\}:[/mm] Wenn [mm]f(1)=\emptyset,[/mm] dann
> ist U=S und wenn f(1)=S, dann ist [mm]U=\emptyset.[/mm] Oder:
> [mm]S:=\{1,2\}, 2^S=\{\emptyset, \{1\},\{2\}, S\}.[/mm] Auch hier
> sieht man wieder, dass egal wie man nun die Bilder von f(1)
> und f(2) wählt, man für U eine Menge erhält, welche
> nicht als Bild auftaucht, was ja auch klar ist, denn man
> konstruiert sich ja U so, dass dort n enthalten sind, die
> NICHT in Ihrem zugehörigen Bild enthalten sind.
>
> Also läuft der ganze Beweis letztendlich auf die
> Konstruktion [mm]M=\{x:x\not\in M\}[/mm] hinaus, von der zumindest
> nicht enschieden werden kann, welche Elemente sie enthält.
> Und insofern man ein solches Resultat als Äquivalenz zur
> Widersprüchlichkeit der Annahme postuliert, hätte man das
> Gegenteil bewiesen.
>
Ganz genau. Es führt einfach zu diesem Paradoxon und zwar liegt es bei mir in der Konstruktion begründet und nicht in der Folgeauswertung. Man zeigt damit zwar sehr elegant, dass es keine bijektive Abbildung gibt, doch ist die Beweisführung in meinen Augen alles andere als elegant. Ja genau, U wäre im ersten Beispiel S, tut mir leid, habe mich zuvor mit S = {1,2} überlappt und nicht mehr an die Konstruktionsvorschrift von U gehalten.
> LG
>
> gfm
>
> P.S.: Und man kann sich dem ganzen auf scheibchenweise
> nähern:
>
> Wenn [mm]#(S)=k\in\IN,[/mm] dann gibt es [mm]2^k[/mm] Teilmengen und es ist
> sofort klar, dass nicht alle Teilmengen erreicht werden
> können. Wenn S unendlich ist, enthält S eine Teilmenge,
> die bijektiv auf [mm]\IN[/mm] abgebildet werden kann. Und hier ist
> schon mit dem Cantorschen Diagonalverfahren ersichtlich,
> das man Schiffbruch erleiden wird.
>
>
>
>
>
>
exakt *schmunzel*
Ich glaube, ich muss mich erstmal wieder selber mit beschäftigen. Dank den weiteren Mitteilungen habe ich ja neue Ansätze, die ich vielleicht irgendwie an die ganze U-Angelegenheit anlehnen kann.
Nochmals vielen Dank. Tolles Engagment und ich verhalte mich wie ein Torr und gebe mich total unbelehrbar, dafür möchte ich mich entschuldigen, es nervt mich selbst ja auch. Unfassbar, so häufig durchgekaut und es difundiert nicht.
Ich schlage vor, hier erstmal eine Pause einzulegen, weil ich glaube für mich erstmal wieder selbst neue Herangehensweisen und Kraft brauche.
In großer Dankbarkeit
Martin
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:34 Di 03.08.2010 | | Autor: | msg08 |
Für mich kann ich soweit nur festhalten. Mathematisch hat man U soweit richtig gebildet. Man bedient sich möglichen Mitteln und damit ist auch klar, dass man an der derartigen mathematisch schlüssgen Konstruktion von U nichts Verwerfliches findet.
U besteht aus Elementen der Menge der natürlichen Zahlen [mm] \IN, [/mm] womit ich auf jeden Fall ein Bild unter f enthalte.
Aufgrund der Annahme, f sei bijektiv, muss sich natürlich ein Urbild für U finden.
So betrachtet ist alles in Ordnung und mathematisch fehlen mir einfach stichfeste Argumente, mit denen ich entgegenwirken kann.
Betrachtet man das Städtebeispiel und denkt dieses rational durch, ist eine Bildung einer analogen StadtAlpha nicht machbar. Ein Bürgermeister kann nicht gleichzeitig in seiner Stadt wohnen, in der für ihn soweit die Wohnerlaubnis nicht besteht oder woanders, weil er so ja zum Einzug gezwungen wäre. Man müsste also entweder die Konventionen der Stadt abändern, als dass der Bürgermeister eine Sondererlaubnis bekäme oder er dürfe als Einziger woanders leben.
Real habe ich also kein Problem, weil ich weiss, es lässt lösen und das kann ich ja auch begründen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:07 Di 03.08.2010 | | Autor: | gfm |
> Für mich kann ich soweit nur festhalten. Mathematisch hat
> man U soweit richtig gebildet. Man bedient sich möglichen
> Mitteln und damit ist auch klar, dass man an der derartigen
> mathematisch schlüssgen Konstruktion von U nichts
> Verwerfliches findet.
>
> U besteht aus Elementen der Menge der natürlichen Zahlen
> [mm]\IN,[/mm] womit ich auf jeden Fall ein Bild unter f enthalte.
>
> Aufgrund der Annahme, f sei bijektiv, muss sich natürlich
> ein Urbild für U finden.
>
> So betrachtet ist alles in Ordnung und mathematisch fehlen
> mir einfach stichfeste Argumente, mit denen ich
> entgegenwirken kann.
>
> Betrachtet man das Städtebeispiel und denkt dieses
> rational durch, ist eine Bildung einer analogen StadtAlpha
> nicht machbar. Ein Bürgermeister kann nicht gleichzeitig
> in seiner Stadt wohnen, in der für ihn soweit die
> Wohnerlaubnis nicht besteht oder woanders, weil er so ja
> zum Einzug gezwungen wäre. Man müsste also entweder die
> Konventionen der Stadt abändern, als dass der
> Bürgermeister eine Sondererlaubnis bekäme oder er dürfe
> als Einziger woanders leben.
>
> Real habe ich also kein Problem, weil ich weiss, es lässt
> lösen und das kann ich ja auch begründen.
Und formal solltest Du auch kein Problem haben.
Letztendlich ist es mit der Mathematik genauso wie mit dem Prozess der Modellbildung aufgrund von externen Beobachtungen. An der Grenze der Außen- zur Innnenwelt liegen nur Aktivitätsmuster der Neuronen vor unabhängig davon, ob nun ein Lichtstrahl einen visuellen oder die Herdplatte einen sensorischen Reiz auslöst. Und das Gehirn muss zusehen, wie es der Flut dieser Muster her wird. Grundlegende Konzepte scheinen dabei Widerspruchsfreiheit und das Ziehen von Grenzen bzw. des Treffen von Unterscheidungen ("ist es", "ist es nicht", "ist enthalten", ist nicht enthalten", usw.) zu sein. Mit Widerspruchsfreiheit ist dabei durchaus auch das Gefährden der biologischen Existenz beim Verstoßen gegen offenbar "da draußen" physikalisch- biologisch vorhandene Gegebenheiten zu betrachten. Im Umgang mit dieser Notwendigkeit ist das Gehirn darauf trainiert, den neuronalen Input intern strukturiert und widerspruchsfrei aufzubereiten, und das sowohl mit internem als auch mit externem Bezug, um Vorhersagen aufgrund eigener Schlüsse treffen zu können und auch neue Muster, die bisher so nicht auftraten, einzuordnen zu können, und das alles im Dienste der DNA. Mit der Komplexität der Beobachtungsinstrumente und der gesellschaftlichen Vielfalt einer Population von empfindungsfähigen und der internen Modellbildung fähigen Individuen wächst auch die interne Komplexität der Organisation und je komplexer und vielfältiger es wird, desto weniger Alternativen wird man haben, das bisherige auch ganz anders sehen zu können. Nur neue und feinere Instrumente (sowohl intern als auch extern) können neue Qualitäten der Realität offenlegen und den Spaß am Erkenntnisgewinn aufrecht erhalten.
Bei der Mathematik beobachten wir unsere Gedanken, letztendlich aber wieder die eigenen Neuronenaktivitätsmuster und bilden interne Modelle verschiedenster Dinge auf der Basis von Widerspruchsfreiheit und Grenzziehung. Wahr oder falsch wird hier nicht an erster Stelle modelliert sondern Widerspruchsfreiheit (das hat sich inder natur offebar bewährt).
Und [mm] M=\{x:x\not\in M\} [/mm] ist eine Form, die im Rahmen der sie umgebenden Schlussregeln/Axiome sofort und ohne Umschweife einen Widerspruch auslöst. Wenn meine interne Modellbildung über die Gefährlichkeit von Tieren nicht in der Lage ist, zu entscheiden, ob der Löwe in der Menge der gefährlichen Tiere enthalten ist, kann das zu einem Widerspruch in der Forsetzungen der Existenz führen. Nun ist beim obigen M zwar nicht die biologische Existentz gefährdet, aber möglicherweise die Integrität des bisherigen Gedankengebäudes und man sagt, große Mathematiker hätten beim Anblick von M schon mal Bauchschmerzen bekommen.
Manchmal ist obige Qualität in einer Form nicht direkt sichbar: [mm] M:=\{x: A(x)\}. [/mm] Auf jeden Fall muss, damit entschieden werden können, welche Elemente die Menge umfasst, also ob [mm] y\in [/mm] M oder nicht. Wenn [mm] y\in [/mm] M, dann iauch A(y) und umgekehrt. A(x) muss wohldefiniert sein in dem Sinne, dass möglichst nicht auf M darin zurückgegriffen wird, ansonsten landet man sofort in einem möglicherweise widersprüchlichen Zirkelschluss.
Eigentlich ist obiges M keine reine Konstruktionsdefinition von M, sondern ein selbstbezüglicher Ausdruck, für den der Wahrheitswert nicht konvergiert, sondern oszilliert. Und so etwas ist im gewohnten Rahmen nicht zu verwenden. x+2=0 hat im Rahmen der primitven Arithmetrik in endlichen Schritten eine Lösung. Um [mm] x=\frac{2}{x} [/mm] zu lösen, mußt Du diesen Rahmen verlassen und solange Du das nicht tust, sind solche Gleichungen abzulehnen. Ich weiß, es gibt Versuche selbstbezügliche logische Ausdrücke mit oszilierenden Wahrheitswerten durch Einführung eines dritten - imaginären - Wahrheitswerts zu behandeln, doch das verläßt dann das bisherige Spielfeld, wo es rot für M gibt.
Im vorliegenden Beispiel des Threads ist zu unterscheiden zwischen der Konstruktion von U ALLEINE durch [mm] U=\{n:n\not\in U_n\} [/mm] auf der Basis einer FEST VORGEGEBENEN Mengenfamilie [mm] U_n, [/mm] die offenbar nicht zu Widersprüchen führt, weil kein Brückenschlag von U zu [mm] U_n [/mm] erfolgt, und zwischen einer ANDEREN ZWEITEN von ihr VERSCHIEDENEN Konstruktion
[mm] \left(U=\{n:n\not\in U_n\}\wedge U\in{U_n\}\right), [/mm] die mit geschulten Bick sofort als widersprüchlich entlarvt ist und demnach verworfen wird.
Nun kannst Du aber der Konstruktion einer Menge an sich nicht die Schuld geben, wenn durch einen zusätzlichen Konstruktionschritt das Ganze widersprüchlich wird, sondern Du mußt den Schritt weglassen der das Elend auslöste, nämlich die Annahme der Gleichmächtigkeit.
LG
gfm
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Di 03.08.2010 | | Autor: | msg08 |
Ich bin sehr von deinem Text angetan. Er beflügelt mich regelrecht freier aufzuatmen und auch zu denken, einfach nur beeindruckend. Danke.
Ich glaube ich habe für mich so einen möglichen Gedankengang einer möglichen Entstehungsgeschichte dieses Beweises gefunden.
Erstmal konkret:
f ist bijektiv, [mm] \IN [/mm] Urbildmenge und [mm] \mathcal{\IN}
[/mm]
Ganz realistisch gedacht weiss ich, ich finde für jede natürliche Zahl mindestens eine Teilmenge aus [mm] \IN, [/mm] in der die natürliche Zahl enthalten ist. Sprich für x [mm] \in \IN [/mm] ist es [mm] \{x\}. [/mm] Nun nehme ich mir bewusst für mein erstes Gedankenmodell die leere Menge [mm] \emptyset [/mm] als Bild. Ich weiss, unter f muss ich ein Urbild finden. Weiter weiss ich, die leere Menge enthält kein Element und es ist kein anderes Element mehr über. Ich weiss, die Abbildung f ist jetzt konkret, aber für mein Anliegen hilfreich. Für die leere Menge [mm] \emptyset [/mm] kann ich festhalten, sie enthält keine Elemente, die in ihren Bildern enthalten sind. Weiter weiss ich, es muss ein [mm] \epsilon \in \IN [/mm] geben mit [mm] f(\epsilon) [/mm] = [mm] \emptyset. [/mm] Da dieses nicht existiert, führt es zum Widerspruch, den ich wollte.
Sogesehen ist mein U bezogen auf sein Urbild u leer, weil es kein solches u gibt und so erhalte ich den Beweis.
Danke :)
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Hallo zusammen,
die letzte recht lange Reihe von z.T. langen Beiträgen habe ich
nur noch seeehr diagonal durchgesehen - aber auch so finde ich,
dass es sich dabei nicht mehr um Mathematik oder Logik mit Hand
und Fuß handelt ...
Als ich da auf Texte wie zum Beispiel
"Letztendlich ist es mit der Mathematik genauso wie mit dem Prozess
der Modellbildung aufgrund von externen Beobachtungen. An der Grenze
der Außen- zur Innnenwelt liegen nur Aktivitätsmuster der Neuronen
vor unabhängig davon, ..."
traf, war mir bewusst, dass da der Bereich der Mengenlehre
endgültig verlassen worden war.
Leider fehlt mir aber im Moment auch die Kraft, in dem ganzen
Gedankenknäuel den Punkt zu suchen, wo sich die Diskussion
von einer Erörterung wirklicher mathematischer Zusammenhänge
in ein eher obskures Geplänkel gewandelt hat. Aber wenn ihr euch
damit glücklich fühlt, wohlan ... (aber lieber in einem anderen Forum)
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:29 Di 03.08.2010 | | Autor: | pelzig |
Hallo
Kann Al-Chwarizmi da nur beipflichten. Ich habe vorhin schon angesetzt, selbst sowas zu schreiben. Ich find die ganze Diskussion ziemlich pseudo-mathematisch. Der eingangs von dir zitierte Beweis, dass es keine Surjektion von X in dessen Potenzmenge geben kann war von Anfang an fehlerfrei. Wenn du dich ernsthaft mit diesen oder verwandten Themen beschäftigen willst, solltest du besser mal ein Buch über Mengenlehre und Logik lesen.
Viele Grüße,
Robert
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Di 03.08.2010 | | Autor: | gfm |
> Hallo
>
> Kann Al-Chwarizmi da nur beipflichten. Ich habe vorhin
> schon angesetzt, selbst sowas zu schreiben. Ich find die
> ganze Diskussion ziemlich pseudo-mathematisch. Der eingangs
> von dir zitierte Beweis, dass es keine Surjektion von X in
> dessen Potenzmenge geben kann war von Anfang an fehlerfrei.
> Wenn du dich ernsthaft mit diesen oder verwandten Themen
> beschäftigen willst, solltest du besser mal ein Buch über
> Mengenlehre und Logik lesen.
>
Wenn Ihr auf meine Probleme nicht eingeht, sei mir gestattet, in der Kommunikation mit anderen am Rande des Tellerands und darüberhinaus Kompensation zu suchen.
LG
gfm
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:34 Di 03.08.2010 | | Autor: | msg08 |
Tut mir leid für entstandenen Ärger beim Überfliegen oder Lesen. Mir hat es geholfen und für meine Begriffe bin ich einfach überaus dankbar, wenn es auch leider zu nervlichen Belastungen beitrug. Entschuldigt :).
Schönen Abend
Martin
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:14 Di 03.08.2010 | | Autor: | gfm |
> Hallo zusammen,
>
> die letzte recht lange Reihe von z.T. langen Beiträgen
> habe ich
> nur noch seeehr diagonal durchgesehen - aber auch so finde
> ich,
> dass es sich dabei nicht mehr um Mathematik oder Logik mit
> Hand
> und Fuß handelt ...
Letzten Endes ist alles was Du beobachten kannst, das was sich in Deinem Hirn abspielt. Und die Form der Mathematik, über die Du philosophieren kannst, spielt sich im Rahmen der Menge der inneren Zustände Deines neuronalen Netzes ab. Und das ist nichts obskures, sondern Gegenstand moderner Forschung. Ein bischen über den Tellerand zu schauen, hat noch niemandem geschadet.
LG
gfm
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:43 Di 03.08.2010 | | Autor: | pelzig |
Hallo,
Die Existenz von U wird vom sog. Aussonderungsaxiom postuliert.
Dass man die Behauptung überhaupt durch einen Widerspruchsbeweis beweisen kann ist ebenfalls eine Art Axiom ("tertium non datur") und es wurden durchaus Versuche unternommen es Abzuschwächen oder darauf zu verzichten. Im Konstruktivismus werden derartige Beweismethoden abgelehnt, in der Standartmathematik postuliert man aber dessen Gültigkeit und hat soweit keine Widersprüche gefunden
Gruß, Robert
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:46 Di 03.08.2010 | | Autor: | msg08 |
Ja, das klingt gekonnt. Vielen lieben Dank. Werde mich morgen mal ein wenig mit befassen.
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