Rundungsfehleranfälligkeit < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:30 So 27.04.2008 | | Autor: | Denise86 |
| Aufgabe | Begründen Sie, weshalb die folgenden Ausdrücke für die gegebenen x [mm] \in \IR [/mm] rundungsfehleranfällig sind und bestimmen Sie jeweils einen mathematisch äquivalenten, aber weniger rundungsanfälligen Ausdruck.
a) [mm] \bruch{1+x^{2}}{1-x^{2}}-\bruch{1}{1+x^{2}} [/mm] |x|<<1
b) [mm] \wurzel{x^{6}+x^{3}}-\wurzel{x^{6}-x^{3}} [/mm] x>>1
Vergleichen Sie jeweils beide Ausdrücke, in dem Sie deren Werte für geeignete x berechnen. |
Hallo. Könnte mir jemand bei dieser Aufgabe helfen, ich verstehe sie nicht? Danke im Voraus :)!
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Hallo Denise86,
> Begründen Sie, weshalb die folgenden Ausdrücke für die
> gegebenen x [mm]\in \IR[/mm] rundungsfehleranfällig sind und
> bestimmen Sie jeweils einen mathematisch äquivalenten, aber
> weniger rundungsanfälligen Ausdruck.
>
> a) [mm]\bruch{1+x^{2}}{1-x^{2}}-\bruch{1}{1+x^{2}}[/mm] |x|<<1
> b) [mm]\wurzel{x^{6}+x^{3}}-\wurzel{x^{6}-x^{3}}[/mm] x>>1
> Vergleichen Sie jeweils beide Ausdrücke, in dem Sie deren
> Werte für geeignete x berechnen.
> Hallo. Könnte mir jemand bei dieser Aufgabe helfen, ich
> verstehe sie nicht? Danke im Voraus :)!
Zu a) Es gilt doch
[mm]1+x^{2} \approx 1, \ x << 1[/mm]
[mm]1-x ^{2} \approx 1, \ x << 1[/mm]
Damit erhältst Du als Ergebnis
[mm]\bruch{1+x^{2}}{1-x^{2}}-\bruch{1}{1+x^{2}} \approx \bruch{1}{1}- \bruch{1}{1}=0[/mm]
Das Ergebnis ist aber definitiv für [mm]x \not = 0[/mm] von 0 verschieden. Also tritt hier das Phänomen der Auslöschung auf.
Zu b)
Hier dasselbe Spiel:
[mm]\wurzel{x^{6}+x^{3}}=\wurzel{x^{3}*\left(x^{3}+1} \approx \wurzel{x^{6}}, \ x >> 1[/mm]
[mm]\wurzel{x^{6}-x^{3}}=\wurzel{x^{3}*\left(x^{3}-1} \approx \wurzel{x^{6}}, \ x >> 1[/mm]
Das liefert auch hier das Ergebnis 0 für [mm]x >> 1[/mm]
Die Aufgabe ist nun diese Ausdrücke in weniger anfälligere Ausdrücke umzuwandeln, so daß eine Auslöschung vermieden wird.
Nach Möglichkeit sind hier also Subtraktionen zu vermeiden, da sie anfälliger für den Effekt der Auslöschung sind.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:30 Sa 03.05.2008 | | Autor: | Denise86 |
Ich danke dir sehr für deine Hilfe!
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