Rückwärtsdifferenzenquotient < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:14 Fr 12.09.2008 | | Autor: | Denny22 |
Hallo an alle.
Es seien im Folgenden für eine feste Zeitschrittweite $k>0$ die Zeitpunkte [mm] $t_j=jk$ [/mm] mit [mm] $j\in\IN_0$ [/mm] gegeben. Weiter sei [mm] $u:[0,T]\longrightarrow\IR$ [/mm] eine zeitlich differenzierbare Funktion, dann erfüllt der Rückwärtsdifferenzenquotient
[mm] $\frac{u(t_j)-u(t_{j-1})}{t_j-t_{j-1}}$
[/mm]
die Abschätzung
[mm] $\Vert{u_t(t_j)-\frac{u(t_j)-u(t_{j-1})}{t_j-t_{j-1}}}\Vert\,\leqslant\,\max_{t_{j-1}\leqslant t\leqslant t_j}\Vert{u_t(t)}\Vert$
[/mm]
Könnte mir jemand erklären, wie ich diese Abschätzung erhalte? Ich zerbreche mir schon eine Weile den Kopf darüber.
Vielen Dank schon einmal.
Gruß
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> Hallo an alle.
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> Es seien im Folgenden für eine feste Zeitschrittweite [mm]k>0[/mm]
> die Zeitpunkte [mm]t_j=jk[/mm] mit [mm]j\in\IN_0[/mm] gegeben. Weiter sei
> [mm]u:[0,T]\longrightarrow\IR[/mm] eine zeitlich differenzierbare
> Funktion, dann erfüllt der Rückwärtsdifferenzenquotient
>
> [mm]\frac{u(t_j)-u(t_{j-1})}{t_j-t_{j-1}}[/mm]
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> die Abschätzung
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> [mm]\Vert{u_t(t_j)-\frac{u(t_j)-u(t_{j-1})}{t_j-t_{j-1}}}\Vert\,\leqslant\,\max_{t_{j-1}\leqslant t\leqslant t_j}\Vert{u_t(t)}\Vert[/mm]
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> Könnte mir jemand erklären, wie ich diese Abschätzung
> erhalte?
> Ich zerbreche mir schon eine Weile den Kopf
> darüber.
Falls [mm] $u_t$ [/mm] die Ableitung von $u$ nach $t$ bedeuten soll, ist diese Abschätzung auch gar nicht richtig. Gegenbeispiel: sei $u(t):= [mm] \sin(t-\pi)$, [/mm] Schrittweite [mm] $k=\tfrac{3\pi}{2}$ [/mm] und [mm] $T=6\pi$, [/mm] dann ist wegen [mm] $u_t(t)=-\cos(t)$ [/mm] für [mm] $t_j [/mm] := [mm] 3\pi$ [/mm] und [mm] $t_{j-1}=\tfrac{3\pi}{2}$ [/mm] (also $j=2$):
[mm]\left|u_t(t_j)-\frac{u(t_j)-u(t_{j-1})}{t_j-t_{j-1}}\right|=\left|-cos(3\pi)-\frac{\sin(3\pi-\pi)-\sin\big(\frac{3\pi}{2}-\pi\big)}{3\pi-\frac{3\pi}{2}}\right|=\left|-(-1)-\frac{0-1}{\frac{3\pi}{2}\right|=1+\tfrac{2}{3\pi}\red{>}1 = \max_{t_{j-1}\leqslant t\leqslant t_j}|u_t(t)}|[/mm]
Aber vielleicht hat ja [mm] $u_t$ [/mm] eine andere Bedeutung - aber welche?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:51 Di 16.09.2008 | | Autor: | Denny22 |
Danke schon einmal für die Antwort. Dann muss es mit etwas anderem zusammenhängen. Ich probiere es selbst noch einmal.
Danke
Gruß
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