Rotationskörper um y-Achse < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:38 Fr 08.12.2006 | | Autor: | Steini |
| Aufgabe | | Rotationskörper um die y-Achse bestimmen |
Hallo,
wir haben heute in der Schule die Berechnung des Rotationskörpers um die y-Achse durchgenommen.
Hierzu haben wir aufgeschrieben, dass V=pi [mm] \integral_{f(a)}^{f(b)}{(f^{-1}(y))^{2} dy}
[/mm]
Mit Substitution [mm] (f^{-1}(y) [/mm] = x soll sich ergeben: V= pi [mm] \integral_{a}^{b}{x^{2}*f(x) dx}
[/mm]
Aber wie sind die zwischenschritte?
Warum passiert das so? Ich gehe davon aus, dass mit Substitutionsregel, jedoch weiß ich nicht, wie ich die anwenden sollte.
Kann mir das wohl mal jemand vormachen?
Mit freundlichen Grüßen
Stefan Steinkamp
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:28 Fr 08.12.2006 | | Autor: | chrisno |
wenn da f'(x) unter dem Integral stünde und Du die Notation $f'(x) = [mm] \bruch{dy}{dx}$ [/mm] kennst, dann könnte ich es Dir vorrechnen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:05 Sa 09.12.2006 | | Autor: | Creep |
Hallo Stefan!
Eigentlich brauchst du keine großartige Substitutionsregeln dafür. Zeichne dir einfach mal eine Parabel und stelle dir vor du würdest dort infinitesimal kleine Scheiben reinlegen, welche aufsummiert werden, um das Volumen zu berechnen. Quasi Scheibe auf Scheibe.
Wenn du es sozusagen um die Y-Achse rotieren lässt ergibt sich aus dem Volumen der Scheibe [mm] r^{2}*PI*h [/mm] --> [mm] f^{-1}(y)*PI*dy [/mm] für eine dieser dünnen Scheiben.
Warum ist das so? Weil der Radius ist immer der Abstand zwischen der Y-Achse und dem Graphen. Dieser ist natürlich abhängig von deiner Funktion in diesem Fall [mm] x^{2}, [/mm] also ist der Abstand dann [mm] f^{-1}. [/mm]
Nun das dy ist deine Höhe der Scheibe, also ganz ganz ganz ganz dünn =).
Wenn du dir jetzt vorstellst, dass du dein [mm] x^{2} [/mm] einfach kippst, um es um die x-Achse rotieren zu lassen. Also nach dx (Scheiben jetzt senkrecht zur X-Achse) und genau die Selbe Überlegung vollführst, dann kommst du auf die andere Form.
Wobei meiner Meinung nach garnicht von Substitution gesprochen werden kann.
Ich hoffe du verstehst wodrauf ich hinaus will, auch wenn vll. etwas kompliziert geschrieben ist. =(
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:40 So 10.12.2006 | | Autor: | Steini |
Hallo,
ich habe es mir jetzt so gedacht:
[mm] V=PI*Integral((f^{-1}(y))²dy
[/mm]
Wenn man jetzt substituiert [mm] f^{-1}(y)=x [/mm]
Kommt [mm] V=PI*Integral(x²*(1/f^{-1}(y))dx
[/mm]
Wenn man jetzt umstellt beide Seiten der Substitution ableitet und dann umstellt erhält man: [mm] dy/dx=1/(f^{-1}(y))
[/mm]
Da dy/dx die Ableitung von f(x) ist, kann man schreiben:
V=PI*Integral(x²*f'(x))dx
Ist das so richtig?
Es ist aber klar, dass dann andere Grenzen sind.
Stefan
PS. Mein PC hat das mit den Formeln nicht anzeigen können, deswegen immer das Integral anstatt das Zeichen.
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Hallo Steini,
> Hallo,
> ich habe es mir jetzt so gedacht:
> [mm]V=\pi*\integral{(f^{-1}(y))^2 \ dy}[/mm]
> Wenn man jetzt substituiert [mm]f^{-1}(y)=x[/mm]
> Kommt [mm]V=\pi*\integral{x²*(1/f^{-1}(y))\ dx}[/mm]
> Wenn man jetzt umstellt beide Seiten der Substitution
> ableitet und dann umstellt erhält man: [mm]dy/dx=1/(f^{-1}(y))[/mm]
> Da dy/dx die Ableitung von f(x) ist, kann man schreiben:
[mm] \frac{dy}{dx}=f'(x)
[/mm]
> [mm] V=\pi*\integral{(x²*f'(x))\ dx}
[/mm]
> Ist das so richtig?
> Es ist aber klar, dass dann andere Grenzen sind. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> PS. Mein PC hat das mit den Formeln nicht anzeigen können,
> deswegen immer das Integral anstatt das Zeichen.
klick mal auf meine Formeln, dann erkennst du, wie ich sie schreibe.
Gruß informix
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