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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:57 Do 11.12.2008 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Weisen Sie mithilfe der Integralrechnung die Volumenformel für Kugeln nach. Dabei rotiert eine Parabel um die x-Achse.
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Moin,
zu zeigen: V = [mm] \bruch{4}{3}*\pi*r^3
[/mm]
Nun bin ich zwar auf den Ansatz über die Halbkugel gestoßen, allerdings müsste meine Idee auch zur Lösung führen, tut es aber nicht. Was mache ich falsch?
1. vermutliche Musterlösung
f(x)= [mm] \wurzel{r^2 - x^2}
[/mm]
[mm] V(x)=\pi*\integral_{-r}^{r}{f(x)^2 dx}
[/mm]
2. Meine Idee
Parabel: f(x) = [mm] ax^2 [/mm] + bx + c
Wenn ich die Parabel mit dem Scheitel durch den Nullpunkt lege (im übrigen komme ich auf dasselbe Ergebnis, wenn ich das Intervall [0;2r] betrachte), dann
f(-r) = 0
f(r) = 0
und
f(0) = r
(bzw. f(0)=0 ; f(2r)=0 ; f(r)=r --- dies nur am Rande)
I. f(0)=r => c=r
II. f(-r)= 0 => 0 = [mm] ar^2 [/mm] -br +r
III. f(r)= 0 => 0 = [mm] ar^2 [/mm] +br +r
=> a = - [mm] \bruch{1}{r} [/mm] ; b=0
f(x)= - [mm] \bruch{1}{r}x^2 [/mm] +r
V(x) = [mm] \pi*\integral_{-r}^{r}{f(x)^2 dx}
[/mm]
V(x) = [mm] \pi*\integral_{-r}^{r}{(\bruch{1}{r^2}*x^4 -2x^2 +r^2) dx}
[/mm]
= [mm] \pi* [\bruch{1}{5r^2}*x^5 -\bruch{2}{3}*x^3 +r^2*x]
[/mm]
V(x) = 1,0666666 [mm] r^3 [/mm] ????????????
Danek und Gruß
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Hallo hase-hh!
Auch in Deiner Lösung muss es am Ende $V \ = \ [mm] \red{\pi}*\bruch{16}{15}*r^3$ [/mm] heißen.
Da Deine gewählte Parabel nur eine Näherung des Halbkreises ist, kann als Ergebnis des Volumens auch nur eine Näherung herauskommen.
Einen Fehler in Deiner Rechnung konnte ich nicht entdecken.
Gruß vom
Roadrunner
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