Rotationskörper < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Die von den Graphen zu y=-x+6 und [mm] y=-2x^2+4x+6 [/mm] eingeschlossene Fläche rotiert um die 1.Achse. Berechne das Volumen des entstehenden Körpers. |
Meine Frage ist:
Kann ich mit nur einer Formel das Volumen des Rotationskörpers ausrechnen oder muss ich die Teilvolumen einzeln berechnen und dann summieren ?
Ich bin so vorgegangen:
Zuerst habe ich die Schnittpunkte von Gerade und Parabel berechnet:
f(x)=g(x)
[mm] -2x^2+4x+6=-x+6 [/mm] ergibt
[mm] 2x(x-\bruch{5}{2} \Rightarrow x_S_1=0 \wedge x_S_2=\bruch{5}{2}
[/mm]
Jetzt kann ich das Volumen des Rotationskörpers berechnen, der sich im Intervall [mm] [0,\bruch{5}{2}] [/mm] der Schnittpunkte von Gerade und Parabel(=Fläche unterhalb der Geraden) befindet, wie folgt berechnen:
[mm] V_Rotationskoerper_1=\pi\integral_{0}^{\bruch{5}{2}}{(-x+6)^2 dx} =\bruch{1385}{24}\pi
[/mm]
In der Aufgabenstellung wird aber von der "eingeschlossenen" Fläche gesprochen. D.h., es fehlt noch die rotierte Fläche unterhalb der Parabel, die sich innerhalb des Intervalls [mm] \bruch{5}{2} [/mm] und der rechts daneben befindlichen NST der Parabel befindet !
Dazu berechnete ich zuerst die NST der Parabel:
[mm] f(x)=0=-2x^2+4x+6 [/mm] ergibt 0=(x-3)(x+1) mit den NST: [mm] x_0_1=-1 \wedge x_0_2=3
[/mm]
Das Volumen dieses 2.Rotationsköperteils berechnete ich dann wie folgt:
[mm] V_Rotationskoerper_2=\pi\integral_{\bruch{5}{2}}^{3}{(-2x^2+4x+6)^2 dx} [/mm] = [mm] \bruch{263}{120}\pi
[/mm]
Als Summe der beide Teilvolumen erhielt ich: [mm] \bruch{599}{10}\pi
[/mm]
Geht das nicht einfacher wie bei der Flächenintegralen ?
Schorsch
Ich habe diese Frage in keinem anderen Internetforum gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:13 Fr 09.01.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du kannst auch direkt die "Differenzfunktion" d(x):=f(x)-g8x) innerhalb der Schnittstellen rotieren lassen.
Also
d(x)=-x+6-(-2x²+4x+6)=2x²-5x
Und diese Funktion kannst du jetzt innerhalb ihrrer Nullstellen (das sind ja die Schnittstellen von f und g) rotieren lassen.
Also:
[mm] V=\pi*\integral_{0}^{\bruch{2}{5}}(2x²-5x)^{2}dx
[/mm]
[mm] =\pi*\integral_{0}^{\bruch{2}{5}}4x^{4}-20x³+25x²dx
[/mm]
Marius
|
|
|
| |
|
Du lässt die Differenzfunktion d(x) rotieren und rechnest:
| Aufgabe | [mm] V_Rotationskoerper=\pi\cdot{}\integral_{0}^{\bruch{2}{5}}4x^{4}-20x³+25x²dx
[/mm]
Hier stimmt das Intervall nicht: Es muss [0, [mm] \bruch{5}{2}] [/mm] heißen.
Hier bekomme ich aber [mm] \bruch{625}{48}\pi [/mm] heraus und nicht wie bei meiner Rechnung [mm] \bruch{599}{10}\pi [/mm] |
Was ist denn nun richtig ? Mit der Bitte um Antwort.
Schorsch
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:31 Fr 09.01.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Du lässt die Differenzfunktion d(x) rotieren und rechnest:
>
> [mm]V_Rotationskoerper=\pi\cdot{}\integral_{0}^{\bruch{2}{5}}4x^{4}-20x³+25x²dx[/mm]
>
> Hier stimmt das Intervall nicht: Es muss [0, [mm]\bruch{5}{2}][/mm]
> heißen.
Sorry, Tippfehler
>
> Hier bekomme ich aber [mm]\bruch{625}{48}\pi[/mm] heraus und nicht
> wie bei meiner Rechnung [mm]\bruch{599}{10}\pi[/mm]
> Was ist denn nun richtig ? Mit der Bitte um Antwort.
Ich vermute mal anhand deiner Schilderung, dass du die Parabel innerhalb ihrer Nullstellen rotieren hast lassen. Das ist aber nicht die "von dem Graphen eingeschlossene Fläche.
Dann müssten beide Wege zum gleichen Ergebnis führen.
Marius
|
|
|
| |
|
Nein ! Die Schnittpunkte von Parabel und Gerade lagen ja bei [mm] x_S_1=0 [/mm] und [mm] x_S_2=\bruch{5}{2}. [/mm] Mit diesen Werten kann ich aber nur das Volumen des Rotationskörpers der Geradenfläche berechnen.
Wenn ich die Differenzfunktion nehme, muesste ich als Intervallgrenzen vielleicht [0,3] nehmen, da sonst einiges an Volumen wegfallen würde.
Die 3 ist die obere NST der Parabel.
Mein Integral muesste dann so aussehen:
[mm] V_Rotationskoerper=\pi\integral_{0}^{3}{d(x)^2 dx}=
[/mm]
[mm] \pi\integral_{0}^{3}{(2x^2-5x)^2 dx}=\bruch{72}{5}\pi
[/mm]
(wieder ein anderes Ergebnis)
Schorsch
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Nein ! Die Schnittpunkte von Parabel und Gerade lagen ja bei [mm] x_S_1=0 [/mm] und [mm] x_S_2=\bruch{5}{2}Mit [/mm] diesen Werten kann ich aber nur das Volumen des Rotationskörpers der Geradenfläche berechnen.
Wenn ich die Differenzfunktion nehme, muesste ich als Intervallgrenzen vielleicht [0,3] nehmen, da sonst einiges an Volumen wegfallen würde.
Die 3 ist die obere NST der Parabel.
Mein Integral muesste dann so aussehen:
[mm] V_Rotationskoerper=\pi\integral_{0}^{3}{d(x)^2 dx}=
[/mm]
[mm] V_Rotationskoerper=\pi\integral_{0}^{3}{(2x^2-5x)^2 dx}=\bruch{72}{5}\pi
[/mm]
(wieder ein anderes Ergebnis)
Wie sieht eigentlich der Rotationskörper aus ? im Intervall [mm] [0,\bruch{5}{2}] [/mm] wäre es ein Trapezförmiger "Klotz", im Intervall [0,3] eine Scheibe mit spitz zulaufendem rundem Deckel.
Welcher von beiden ist in der Aufgabenstellung gesucht ?
Schorsch
|
und wieder habe ich ein anderes Ergebnis.
m.d.Bitte um Klärung.
Schorsch
|
|
|
| |
|
Vielleicht habe ich mich auch "verrannt" !
Als eingeschlossene Fläche zwischen Geraden- und Parabelgraphen wird sicherlich nur die unter den Schnittpunkten befindliche Fläche bezeichnet. Somit gelten auch nur die dortigen Intervallpunkte.
Die um die x-Achse rotierte Fläche fabriziert somit einen Trapez förmigen Körper !
Das von mir zuerst berechnete Volumen [mm] \bruch{1385}{24}\pi [/mm] muesste die Lösung sein.
Schorsch
PS: bin aber dennoch gespannt auf die Antworten
|
|
|
| |
|
Hallo Schachschorsch!
Hier mal eine Skizze mit der Fläche, welche nach meinem Verständnis rotiert:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Du musst hier schon beide Einzelvolumina (jeweils in den Grenuen von $0_$ bis $2.5_$) berechnen und anschließend subtrahieren.
Die Subtraktion der beiden Ausgangsfunktionen gleich zu Beginn ist nicht korrekt, wegen des Quadrats in der Volumenformel.
Gruß vom
Roadrunner
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | | Von Geraden- und Parabelgraphen eingeschlossene Fläche, die um die x-Achse rotieren soll. |
Hallo Roadrunner, habe mir Deine Skizze angesehen.
Wenn ich sie betrachte, komme ich immer mehr zu der Überzeugung, dass es eher die 3 (drei) innerhalb des Parabelgraphen und unterhalb des Geradengraphen befindliche Fläche ist, die rotiert werden soll. Die beiden rechts neben der y-Achse befindlichen Rotationsteilkörper hatte ich ja schon berechnet.
Nun fehlt nur noch der links neben der y-Achse "eingeschlossene" Bereich.
[mm] V_Rotationskoerper3=\pi\integral_{-1}^{0}{((-2x^2+4x+6)^2) dx} [/mm] = [mm] \bruch{10}{3}\pi
[/mm]
Als Übungsaufgabe vielleicht nicht richtig formuliert.
Nachtrag: Hast wohl doch recht Roadrunner !!!
Nur ganz kurz: Habe das Intervall [0; [mm] \bruch{5}{2}] [/mm] genommen, dann zuerst f(x) innerhalb diser Grenzen rotieren lassen. Anschließend habe ich g(x) ebenfalls rotieren lassen und die Differenz ausgerechnet.
Habe für den gesuchten Körper: [mm] \bruch{125}{2}\pi [/mm] rausbekommen.
Jetzt muesste es stimmen.
Kannst ja mal antworten, was Du davon hälst !
Schorsch
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 So 11.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
Roadrunner hatte glaube ich doch recht, siehe Skizze.
Schorsch
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
