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Rotationskörper: Endliches,unendliches!
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:40 Mo 14.02.2005
Autor: Desperado

Hallo, mein problem ist das ich aus dieser Aufgabe nicht ganz  schlau werde!Ich schreib sie einfach mal auf.


Der Graph der funktion f,die x-achse und die gerade mit der Gleichung x=a begrenzen eine nach rechts offene fläche,die um die x-achse rotiert.Dabei entsteht ein nach rechts begrenzter körper K.Utersuchen Sie ob K ein (endliches) Volumen besitzt.

f(x) = 2  / (x - [mm] 2)^{2} [/mm]  a=3

Als erstes hab ich mir den graphen skizziert und die Gerade muss dann die intervallgrenze sein die nach rechts ins unendliche oder endliche offen ist!ODER?

Bei x=3 ist dann die senkrechte INtervallgrenze oder?


Mein lösungsvorschlag wäre umkehrfunktion bilden?Stimmt das?und danach
das Volumen wie folgt berechnen!

V =   [mm] \pi \* \integral_{a}^{b} {f(x)^{2} dx} [/mm]

Wäre um eine verständliche und einfache lösung froh!

Grüße Desperado
        
Bezug
Rotationskörper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:54 Mo 14.02.2005
Autor: Paulus


> Der Graph der funktion f,die x-achse und die gerade mit der
> Gleichung x=a begrenzen eine nach rechts offene fläche,die
> um die x-achse rotiert.Dabei entsteht ein nach rechts
> begrenzter körper K.Utersuchen Sie ob K ein (endliches)

[verwirrt] Sollte es hier nicht heissen: nach recht unbegrenzt?

> Volumen besitzt.
>  
> f(x) = 2  / (x - [mm]2)^{2}[/mm]  a=3
>  
> Als erstes hab ich mir den graphen skizziert und die Gerade
> muss dann die intervallgrenze sein die nach rechts ins
> unendliche oder endliche offen ist!ODER?
>  
> Bei x=3 ist dann die senkrechte INtervallgrenze oder?
>

[ok]

>
> Mein lösungsvorschlag wäre umkehrfunktion bilden?Stimmt
> das?und danach
> das Volumen wie folgt berechnen!

Warum denn die Umkehrfunktion? Die Rotation erfolgt ja um die x-Axhse!

>  
> V =   [mm]\pi \* \integral_{a}^{b} {f(x)^{2} dx} [/mm]
>  

Fast [ok]

Ich denke, du musst einfach dieses berechnen:

[mm] $V=\pi*\integral_{3}^{\infty} {f(x)^{2} dx}$ [/mm]

Mit lieben Grüssen


Paul
Bezug
                
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Rotationskörper: WEiterer Verlauf,stammfunktion
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:27 Mo 14.02.2005
Autor: Desperado

hallo,danke für deine antwort!
Stimmt diese stammfunktion von der f(x)?
erstmal habe ich f(x) quadriert! neu f(x) =  4   [mm] \* (x-2)^{-4} [/mm]

f (x) = 4   [mm] \* (x-2)^{-4} [/mm]  habe die funktion umgeschrieben?stimmt das?

F(x) = -  [mm] \bruch{2}{3} \* (x-2)^{-3} [/mm]


Desperado
Bezug
                        
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Rotationskörper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:43 Mo 14.02.2005
Autor: Sigrid

Hallo Desperado,

> hallo,danke für deine antwort!
>  Stimmt diese stammfunktion von der f(x)?
>  erstmal habe ich f(x) quadriert! neu f(x) =  4   [mm]\* (x-2)^{-4} [/mm]
>  
>
> f (x) = 4   [mm]\* (x-2)^{-4}[/mm]  habe die funktion
> umgeschrieben?stimmt das?
>  
> F(x) = -  [mm]\bruch{2}{3} \* (x-2)^{-3} [/mm]

fast.  Aber wie kommst du auf [mm]\bruch{2}{3} [/mm] ?
Mein Ergebnis ist
F(x) =   [mm]- \quad \bruch{4}{3} \* (x-2)^{-3} [/mm]
Durch Ableiten kannst du die Rechnung überprüfen.

Gruß
Sigrid


>  
>
> Desperado
>  

Bezug
                                
Bezug
Rotationskörper: ergebnis, !umkehrfunktion
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:55 Mo 14.02.2005
Autor: Desperado

Danke Storch,hab erst beim rechnen ein fehler gemacht mit 2 daher habe ich das beibehalten aber man muss ja auf 4 weil man quadriert!ABL ist richtig.Könntest du mir sagen ob mein ergebnis stimmt?

V= - unendlich - 4  / 3


zu einer anderen aufgaben habe ich noch die frage,(wenn das noch geht?) ob ich richtig nach x aufgelöst habe.

f(x) = y
2  /   [mm] \wurzel{x} [/mm] = y
2  / x = [mm] y^{2} [/mm]
1 / x + 2 = [mm] y^{2} [/mm]
ln (x) = [mm] y^{2} [/mm] - 2
e^ln(x) = [mm] e^y^{2} [/mm] - 2
x = [mm] e^y^{2} [/mm] - 2

stimmt das?will umkehr funktion nachher bilden!


Gruß Desperado
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Rotationskörper: Formeleditor
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:00 Di 15.02.2005
Autor: informix

Hallo Desperado,
könntest du bitte mal den Formeleditor benutzen, damit wir deine Formeln besser lesen können?

> zu einer anderen aufgaben habe ich noch die frage,(wenn das
> noch geht?) ob ich richtig nach x aufgelöst habe.
>  
> f(x) = y
>  2  /   [mm]\wurzel{x}[/mm] = y
>  2  / x = [mm]y^{2}[/mm] [notok]

du quadrierst!  [mm] $\bruch{4}{x} [/mm] = [mm] y^2$ [/mm]

>  1 / x + 2 = [mm]y^{2}[/mm] [verwirrt]

meine Rechnung weiter:
$x = [mm] \bruch{4}{y^2}$ [/mm]
x - y vertauschen:
$y = [mm] \bruch{4}{x^2}$ [/mm]
Hast du dies gemeint?

>  ln (x) = [mm]y^{2}[/mm] - 2
>  e^ln(x) = [mm]e^y^{2}[/mm] - 2
>  x = [mm]e^y^{2}[/mm] - 2

ich verstehe deine Rechnung nicht ?!?!
  
> stimmt das?will umkehr funktion nachher bilden!
>  

[gutenacht]

Bezug
                                        
Bezug
Rotationskörper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:20 Di 15.02.2005
Autor: Paulus

Hallo Desperado

> Danke Storch,hab erst beim rechnen ein fehler gemacht mit 2
> daher habe ich das beibehalten aber man muss ja auf 4 weil
> man quadriert!ABL ist richtig.Könntest du mir sagen ob mein
> ergebnis stimmt?
>  
> V= - unendlich - 4  / 3
>  

[notok]

Da Unendlich keine Zahl ist, muss man das etwas sauberer formulieren.

Du hast ja die Stammfunktion

[mm] $F(x)=\bruch{-4}{3(x-2)^3}$ [/mm]

Dies ist für die Grenzen von 3 bis unendlich auszuwerten. Statt "undendlich" nimmt man einfach eine Zahl, z.B. a und bestimmt den Limes, wenn diese Zahl gegen unendlich strebt:

[mm] $\lim_{a\to\infty}\left(\bruch{-4}{3(a-2)^3}+\bruch{4}{3(3-2)^3}\right)=0+\bruch{4}{3}=\bruch{4}{3}$ [/mm] :-)


Für das Volumen ist dann natürlich noch mit [mm] $\pi$ [/mm] zu multiplizieren!

Mit lieben Grüssen

Paul

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