Rotationsachse - Quaternion < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:54 Di 22.03.2011 | | Autor: | hrast85 |
| Aufgabe 1 | | Der Vektor [mm] s=(0,2,6)^T [/mm] soll um die z-Achse um -60° rotiert werden. Berechnen sie den neuen Vektor. |
| Aufgabe 2 | | Erstellen Sie ausgehend von den beiden Vektoren ein Quaternion, welches den Vektor s auf den in Aufgabe 1 errechneten Vektor rotiert. |
zu Aufgabe 1:
zunächst habe ich das Quaternion aufgestellt. Die Achse ist [mm] u=(0,0,1)^T [/mm] und der Winkel [mm] \omega=-60°
[/mm]
Daraus folgt das Quaternion [mm] q=\vektor{cos(30°\\ 0\\ 0 \\ -0.5}
[/mm]
Die Multiplikation, auf die ich nicht weiter eingehen möchte, da die Lösung bereits bekannt ist ergibt [mm] s_{neu}=\vektor{\sqrt(3) \\ 1\\6}. [/mm] Sie steht schon als Lösung da, und in Maltab habe ich es auch überprüft (vorallem zum Verständnis für Aufgabe 2)
Das eigentliche Problem ist Aufgabe 2:
zunächst war der Ansatz: die Rotationsachse aus dem Kreuzprodukt zu berechnen.
$u=s [mm] \times s_{neu}$
[/mm]
Vorher habe ich die Vektoren noch normiert (was anscheinend aber nicht zwingend nötig ist da sie betraglich gleich groß sind)
[mm] s=\vektor{0 \\ 0.3162 \\ 0.9487}
[/mm]
[mm] s_{neu}=\vektor{0.2739 \\ 0.1581\\ 0.9487}
[/mm]
und somit
[mm] u=\vektor{0.4804 \\ 0.832 \\ -0.2773}
[/mm]
Anschließend habe ich versucht den Drehwinkel zu gewinnen:
[mm] cos(\omega)=s*s_{neu}/(|s||s_{neu}|)
[/mm]
da für das Quaternion nur die Hälfte des Winkels benötigt wird
[mm] cos(\omega/2)=\sqrt{(1+cos(\omega))/2}
[/mm]
[mm] sin=cos(\omega/2)=\sqrt{1-cos(\omega/2)^2}
[/mm]
[mm] cos(\omega/2)=0.9874
[/mm]
[mm] sin(\omega/2)=0.1581
[/mm]
Nun wird wieder das Quaternion erstellt:
[mm] q=\vektor{\cos(\omega/2) \\ u_1*sin(\omega/2) \\ u_2*sin(\omega/2\\u_3*sin(\omega/2))}
[/mm]
[mm] q=\vektor{0.9874\\ 0.076 \\0.1316\\ -0.0439}
[/mm]
Problem ist nun, dass ich mit dem Quaternion nicht den Vektor s auf s_neu rotiere. Auffallend ist ja bereits die unterschiedliche Rotationsachse. Ich bin mir daher nicht sicher ob man das überhapt so rückrechnen kann. Das bestimmen der Achse,sowie des Winkels scheint jedoch eine gültige Methode zu sein. Daher möchte ich hier fragen, wie ich denn auf ein gültiges Quaternion komme, bzw wo denn der Fehler bei dem Ansatz ist.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo hrast85,
wenn man die Vektoren [mm] $s_\text{neu}, [/mm] s$ in üblicherweise als Quaternionen auffasst, dann gilt
[mm] $s_\text{neu} [/mm] = [mm] qs\overline{q}= qsq^{-1}$.
[/mm]
Es ist also alles richtig! Wo liegt Dein Problem?
LG mathfunnel
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