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Hallo erstmal,
Hab folgendes Problem,hab zwei vorgegebene 3 dim Vektoren,und muss die winkel berechnen die den ersten Vektor in die richtung des zweiten überführen,d.h das die am ende Parallel sind.Hab zwar die matrizen zur Rotation,also jeweils um die x,y und z-Achse,gefunden.Jedoch weiss ich nicht wie ich aus diesen drei Matrizen die winkel ausrechne die den ersten Vektor in die Richtung des zweiten drehe muss ich da ein Gleichungssystem erstellen?Gib es keine andere Formel für sowas?
wär sehr nett wenn mir jemand da helfen würde.
danke
ps:Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
> Hab folgendes Problem,hab zwei vorgegebene 3 dim
> Vektoren,und muss die winkel berechnen die den ersten
> Vektor in die richtung des zweiten überführen,d.h das die
> am ende Parallel sind.Hab zwar die matrizen zur
> Rotation,also jeweils um die x,y und
> z-Achse,gefunden.Jedoch weiss ich nicht wie ich aus diesen
> drei Matrizen die winkel ausrechne die den ersten Vektor in
> die Richtung des zweiten drehe muss ich da ein
> Gleichungssystem erstellen?Gib es keine andere Formel für
> sowas?
Es gibt eine Formel für den Winkel zwischen zwei Vektoren - kannst du die nicht anwenden? Es gilt:
Ist [mm] \phi [/mm] der Winkel zwischen den Vektoren [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b}, [/mm] so heißt [mm] \vec{a}*\vec{b}=|\vec{a}|*|\vec{b}|*\cos{\phi} [/mm] das Skalarprodukt von [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b}.
[/mm]
Kannst du so nicht den Winkel berechnen?
Viele Grüße
![[morgaehn]](/images/smileys/morgaehn.gif "[morgaehn]")
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Hallo , Christiane,
es geht hier nicht um 2 dim Vektoren sondern um 3 dim Vektoren, das heisst ich muss drei winkel beachten einmal den für die Rotation um die x-Achse, um die y-Achse und um die z-Achse.Sorry wenn ich meine frage unklar gestellt habe.
greets
Mojoschmo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:13 Fr 29.04.2005 | | Autor: | Herby |
Hallo mojoschmo,
der Vektor a ist definiert durch die drei Basisvektoren:
[mm] a_{1} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] (X-Achse)
[mm] a_{2} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] (Y-Achse)
[mm] a_{3} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] (Z-Achse)
also dim 3. Ebenso der Vektor b.
Die Winkel sind zu berechnen zwischen den Basisvektoren von [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] und das sind drei.
Gruß Herby
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Sorry aber muss sagen das ich eine Matheniete bin,
wenn ich zb Vektor U(1,2,3),und Vektor V(4,5,6),und will wissen um welche x,y,z winkel ich Vektor U drehen soll damit er in richtung V liegt,wie mache ich das ?Weil ich hab zwar die Rotationsmatrizen jeweils um die X,Y,Z -Achse aber ich weiss nicht wie ich aus diesen die winkeln ausrechnen soll.
Ich danke für eure Geduld
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:55 So 01.05.2005 | | Autor: | mela |
> Sorry aber muss sagen das ich eine Matheniete bin,
> wenn ich zb Vektor U(1,2,3),und Vektor V(4,5,6),und will
> wissen um welche x,y,z winkel ich Vektor U drehen soll
> damit er in richtung V liegt,wie mache ich das ?Weil ich
> hab zwar die Rotationsmatrizen jeweils um die X,Y,Z -Achse
> aber ich weiss nicht wie ich aus diesen die winkeln
> ausrechnen soll.
> Ich danke für eure Geduld
hallo mojoschmo.
ich weiß ja nicht ob ich genauso falsch verstehe was du meinst wie die anderen, oder ob du einfach nur zu verquer denkst....
wenn ich dich jetzt richtig verstanden habe, sollst du doch eigentlich nur den winkel berechnen der zwischen dem einen und dem andren vektor liegt, richtig? das ist doch letztendlich auch der winkel den du benötigst um den einen vektor parallel zum anderen zu setzen, richtig?
in einer antwort vorher, hat dir ja jemand schon die formel genannt um den winkel zwischen 2 vektoren zu bestimmen, hier die aufgelöste form:
[mm] \bruch{ | \vec{a} \* \vec{b} |}{ |\vec{a}| * |\vec{b}|} [/mm] = [mm] {\cos \alpha}
[/mm]
um dann an den eigentlichen bruch zu kommen musst du natürlich dann den arc [mm] \cos \alpha [/mm] berechnen.
also als beispiel:
du hast den von dir genannten vektor [mm] \vec{u} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] und vektor [mm] \vec{v} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ 5 \\ 6}
[/mm]
oben auf den bruchstrich schreibst du dann das skalar produkt der zwei vektoren. wie man das macht weißt du ja, oder? allerdings den betrag, also keine negative zahl.
unter den bruchstrich schreibst du den betrag von [mm] \vec{u} [/mm] und multiplizierst ihn mit dem betrag von [mm] \vec{v}
[/mm]
was ich damit meine weißt du?
[mm] |\vec{u}| [/mm] = [mm] \wurzel{ x^{2}+ y^{2}+ z^{2}}
[/mm]
soweit alles klar? du erhältst dann ja wie oben beschrieben einen winkel wenn du das skalarprodukt durch die miteinander multiplizierten beträge dividierst..
wenn die rotationsmatrix im dreidimensionalen raum ähnlich ist wie die für den zweidimensionalen, sprich
[mm] \pmat{ \cos \alpha & \ -sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha } \* \vektor{x \\ y}
[/mm]
also einfach die rotationsmatrix mit den sin und cos werten des berechneten winkels um den gedereht werden soll, skalar mit dem ausgansvektor, nur halt um eine spalte der matrix erweitert, müsstest du mit dem rechenweg dann hinterher deinen neuen richtungsvektor erhalten der parallel zu deinem ausgansvektor liegt, falls du überhaupt so weit rechnen musst.
hoffe meine idee stimmt und ich konnte dir helfen, wenn nein tuts mir leid. dann weiß ich auch nicht was du genau möchtest.
gruß, mela
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hallo nochmal alle zusammen :)
ich glaube ich habe mich etwas zu undeutlich ausgedrückt anscheinend.
also ich sage euch mal was ich genau machen muss:
ich habe drei punkte gegeben die irgendwo im dreidimensionalen raum liegen. und ich habe eine ebene (ebene1) gegeben die genau flach auf den x/z achsen liegt also ursprung.
aufgabe ist es die ebene (ebene1) so zu rotieren (translation ist kein problem) dass sie genau durch diese drei punkte geht, oder besser gesagt dass die drei punkte genau auf der ebene liegen.
was wir bis jetzt gemacht haben ist einen dieser punkte als ursprung der ebene (pivot-/rotationspunkt) zu wählen und die ebene dementsprechend zu bewegen(translation) jedoch noch keine rotation, die ebene liegt also immer noch parallel zur x /z achse.
so wir haben jetzt die drei punkte, also virtuelle ebene(ebene2), genommen und zu dieser die normale berechnet. (das ist der vektor von dem ich die ganze zeit sprach).
und der zweite vektor ist die y-achse, da diese ja die normale unserer richtigen eben(eben1) ist.
um diese ebene(ebene1) jetzt so zu rotieren dass sie genau auf den drei punkten(ebene2) liegt müssen wir die abweichung der virtuellen normalen zu der y-achse berechnen (also rotation in x-y-z achse).
so was ihr mir bis jetzt alle gezeigt habt, da waren ja immer nur ein winkel im spiel. jedenfalls bei mela und dem ersten beitrag. stimmt das? wo ihr ja jetzt genau wisst was die aufgabe ist.
ich dachte nämlich dass man für jede achse eine eigene rotation berechnen muss. also insgesamt drei winkel. oder irre ich mich da?
hab ja auch drei drehmatritzen mit denen ich arbeiten muss.
(komm leider noch nciht mit dem system hier klar, sonst würd ich die aufschreiben).
naja hoffe ihr könnt mich aufklären
gruss und danke schonmal
mojoschmo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:21 Mo 02.05.2005 | | Autor: | Herby |
Hallo mojoschmo,
ich zeige dir mal' ein kleines Beispiel:
Sei der Normalenvektor [mm] \overrightarrow{ON}=\vec{n} [/mm] definiert durch [mm] \vec{n}=\vektor{3 \\ 7 \\ 9}. [/mm] Zu berechnen sind die Winkel mit der x-Achse.
Der Betrag des Vektors: [mm] |\vec{n}|= \wurzel{3^2 + 7^2 + 9^2} [/mm] = [mm] \wurzel{139} \approx [/mm] 11,79
Das Skalarprodukt zwischen
[mm] \vec{n} [/mm] und [mm] \vec{e_1}= [/mm] 3*1+7*0+9*0=3
[mm] \vec{n} [/mm] und [mm] \vec{e_2}= [/mm] 3*0+7*1+9*0=7
[mm] \vec{n} [/mm] und [mm] \vec{e_3}= [/mm] 3*0+7*0+9*1=9
mit [mm] \vec{e_1}= \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] und [mm] \vec{e_2}= \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vec{e_3}= \vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Die Winkel betragen demnach mit cos [mm] \delta [/mm] = [mm] \bruch{\vec{n} * \vec{e}}{|\vec{n}|*|\vec{e}|}
[/mm]
für [mm] \alpha [/mm] = [mm] cos^-1(\bruch{3}{ \wurzel{139}}) [/mm] = 75,259°
für [mm] \beta [/mm] = [mm] cos^-1(\bruch{7}{ \wurzel{139}}) [/mm] = 53,578°
für [mm] \gamma [/mm] = [mm] cos^-1(\bruch{9}{ \wurzel{139}}) [/mm] = 40,238°
Damit kannst du die Winkel in deinem Fall mit der Y-Achse (oder auch allgemein bestimmen). Sollte ich dich falsch verstanden haben, melde dich bitte, vielleicht auch mit konkreten Werten zur Aufgabe.
lg Herby
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