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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:29 Fr 09.11.2018 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers mit
f(x) = 3x -2
bei Drehung um die y-Achse im Intervall y=1 bis y = 4. |
Moin Moin,
zunächst bilde ich die Umkehrfunktion zu
f(x) = 3x - 2
x = 3y -2
y = [mm] \bruch{1}{3}x [/mm] + [mm] \bruch{2}{3}
[/mm]
aus [mm] \pi*\integral_{1}^{4}{f(x)^2 dy}
[/mm]
wird dann [mm] \pi*\integral_{f(a)}^{f(b)}{y^2 dx}
[/mm]
Die Grenzen würde ich dann so berechnen
f(1) = 3*1 -2 = 1
f(4) = 3*4 - 2 = 10
Leider scheint mir das nicht zu stimmen, da nach meiner Skizze, eine deutlich größere Fläche um die x-Achse rotiert, als um die y-Achse.
Wo ist da der Denkfehler?
Danke und Gruß!
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> Berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers mit
>
> f(x) = 3x -2
>
> bei Drehung um die y-Achse im Intervall y=1 bis y = 4.
Du kannst hier von Anfang an um die y-Achse rotieren lassen oder - wie du es vorhast - x- und y-Achsen vertauschen und die Umkehrfunktion nehmen.
Zur ersten Alternative: Statt wie bisher [mm] V=\pi \integral_{x_a}^{x_b}{(f(x))^2 dx} [/mm] zu bilden, gehst du über zu [mm] V=\pi \integral_{y_a}^{y_b}{x^2 dy} [/mm] mit x = [mm] \bruch{1}{3}y [/mm] + [mm] \bruch{2}{3} [/mm] (keine Umkehrfunktion, nur umstellen nach x!)
Du musst also x noch quadrieren und für die Grenzen 1 und 4 einsetzen.
Nun zu deinem Weg:
> Moin Moin,
>
> zunächst bilde ich die Umkehrfunktion zu
>
> f(x) = 3x - 2
>
> x = 3y -2
>
> y = [mm]\bruch{1}{3}x[/mm] + [mm]\bruch{2}{3}[/mm]
>
>
> aus [mm]\pi*\integral_{1}^{4}{f(x)^2 dy}[/mm]
>
> wird dann [mm]\pi*\integral_{f(a)}^{f(b)}{y^2 dx}[/mm]
Nicht ganz! Was du machst, ist keine Substitution , sondern eine Vertauschen von x- und y-Werten. Damit werden die vorhergehenden y-Grenzen nun zu x-Grenzen, also beibehalten:
V= [mm] \pi*\integral_{a}^{b}{y^2 dx} =\pi*\integral_{1}^{4}{(\bruch{1}{3}x + \bruch{2}{3})^2 dx} [/mm] und damit bekommst du genau mein obiges Integral, nur, dass die Buchstaben x und y gegeneinander vertauscht sind. Der Zahlenwert ist aber dann derselbe.
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