Rotation um die y-Achse < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:23 Mo 19.01.2009 | | Autor: | lucana |
| Aufgabe | | Berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers, der durch Drehung des Kreises [mm](x-2)^2 + y^2 = 1[/mm] um die y-Achse entsteht. |
Um einen Körper um die y-Achse zu rotieren, muss ich ja zunächst [mm]f^{-1}[/mm] bilden.
Dabei komme ich auf [mm]f^{-1}(y) = 2 \pm \wurzel{1-y^2}[/mm]
Dann benötige ich die Integrationsgrenzen.
Also [mm]f^{-1}(y) = 0[/mm]. Dabei komme ich dann allerdings auf [mm]y^2=-3[/mm] und daher auf [mm]y=\pm\wurzel{-3}=\pm\wurzel{3}i[/mm]
Jedoch habe ich ein Problem mit der Integration der Funktion für die Rotation, da ich nicht wirklich weiß, was ich da mit komplexen Grenzen anfangen soll.
[mm]V=\pi\int_{-\wurzel{3}i}^{\wurzel{3}i}(2\pm\wurzel{1-y^2})^2=...=\pi(5y-\bruch{y^3}{3})\right|^{\wurzel{3}i}_{-\wurzel{3}i}\pm4\pi\bruch{(1-y^2)^{\bruch{3}{2}}}{\bruch{3}{2}}\right^{\wurzel{3}i}_{-\wurzel{3}i}[/mm]
(Anmerkung: Ich weiß leider nicht, wie man einen Strich für die Grenzen ziehen kann... Also bitte nicht wundern, dass da Zahlen "in der Luft" stehen...)
Die komplexen Zahlen fallen beim Einsetzen ja nicht weg (ungerade Potenzen von y). Aber wie kann ein Rotationskörper ein komplexes Volumen haben?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo lucana,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers, der durch
> Drehung des Kreises [mm](x-2)^2 + y^2 = 1[/mm] um die y-Achse
> entsteht.
> Um einen Körper um die y-Achse zu rotieren, muss ich ja
> zunächst [mm]f^{-1}[/mm] bilden.
>
> Dabei komme ich auf [mm]f^{-1}(y) = 2 \pm \wurzel{1-y^2}[/mm]
>
> Dann benötige ich die Integrationsgrenzen.
> Also [mm]f^{-1}(y) = 0[/mm]. Dabei komme ich dann allerdings auf
> [mm]y^2=-3[/mm] und daher auf [mm]y=\pm\wurzel{-3}=\pm\wurzel{3}i[/mm]
Die Integrationsgrenzen müssen Punkte auf dem Kreis sein.
Und y kann nur Werte größer gleich 1 und kleiner gleich 1 annehmen.
Demzufolge lautet das Integral, das Du zu berechnen hast:
[mm]\pi\integral_{-1}^{1}{x^{2}\left(y\right) \ dy}[/mm]
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> Jedoch habe ich ein Problem mit der Integration der
> Funktion für die Rotation, da ich nicht wirklich weiß, was
> ich da mit komplexen Grenzen anfangen soll.
>
> [mm]V=\pi\int_{-\wurzel{3}i}^{\wurzel{3}i}(2\pm\wurzel{1-y^2})^2=...=\pi(5y-\bruch{y^3}{3})\right|^{\wurzel{3}i}_{-\wurzel{3}i}\pm4\pi\bruch{(1-y^2)^{\bruch{3}{2}}}{\bruch{3}{2}}\right^{\wurzel{3}i}_{-\wurzel{3}i}[/mm]
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> (Anmerkung: Ich weiß leider nicht, wie man einen Strich für
> die Grenzen ziehen kann... Also bitte nicht wundern, dass
> da Zahlen "in der Luft" stehen...)
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> Die komplexen Zahlen fallen beim Einsetzen ja nicht weg
> (ungerade Potenzen von y). Aber wie kann ein
> Rotationskörper ein komplexes Volumen haben?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
MathePower
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