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| Aufgabe | Sei I eine beliebige Menge und seien [mm] f_{1} [/mm] ..... [mm] f_{n} [/mm] Funktionen von I in einem Körper k. Dann sind gleichwertig:
1. [mm] f_{1} [/mm] .... [mm] f_{n} [/mm] sind linear unabhängig im Vektorraum [mm] k^{I}.
[/mm]
2. Der von den Zeilen [mm] [f_{1}(x) [/mm] ..... [mm] f_{n}(x) [/mm] ], x [mm] \in [/mm] I , aufgespannte Unterraum von [mm] k^{1xn} [/mm] ist [mm] k^{1xn} [/mm] selbst.
3. Es gibt Elemente [mm] x_{i} [/mm] .... [mm] x_{n} [/mm] aus I, so dass die Determinante der Matrix A mit [mm] a_{ij} [/mm] = [mm] f_{i}(x_{j}) [/mm] nicht verschwindet. |
Also, bevor ich überhaupt diese Aufgaben ansatzweise lösen könnte, würde ich erstmal gerne wissen, wie es aussieht wenn Funtkionen linear unabhängig sind. Kenn das nur von Vektoren.
Bei 3. heißt es doch, wenn die Determinante nicht verschwinden soll, dann soll sie ungleich 0 sein. Richtig??
Vll kann mir ja jemanden zu den Antworten auch gleich mal einen Ansatz verraten :-/
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In der abstrakten Vektorraumtheorie ist Vektor eine Rolle, kein Seinsobjekt. So wie etwa Bruder eine Rolle ist, die einer männlichen Person zukommt, obwohl dieses selbe Wesen in anderen Zusammenhängen auch andere Rollen einnehmen kann (Vater, Sohn, Onkel, ... ; Chef, Untergebener, ... ).
Das Seinsobjekt ist hier die Funktion. Sie ordnet Elementen von [mm]I[/mm] Elemente des Körpers [mm]k[/mm] zu. Dabei gibt es eine besondere Funktion, nämlich die Nullfunktion [mm]\Theta[/mm]. Sie ordnet jedem Element von [mm]I[/mm] die 0 von [mm]k[/mm] zu.
Und diese Funktionen spielen jetzt hier die Rolle von Vektoren. Man kann sie nämlich addieren:
[mm]f+g[/mm] ist diejenige Funktion mit [mm]x \mapsto f(x) + g(x)[/mm]
und man kann sie mit [mm]\lambda \in k[/mm] skalar multiplizieren:
[mm]\lambda f[/mm] ist diejenige Funktion mit [mm]x \mapsto \lambda f(x)[/mm]
Und weil jetzt für diese Funktionen mit den soeben festgelegten Operationen die Gesetze eines Vektorraumes gelten, spielen sie hier die Rolle von Vektoren. Und [mm]\Theta[/mm] spielt die Rolle des Nullvektors.
Daß die Funktionen [mm]f_1, \ldots, f_n[/mm] linear unabhängig sind, bedeutet daher, daß keine Gleichung
(*) [mm]\lambda_1 f_1 + \lambda_2 f_2 + \ldots + \lambda_n f_n = \Theta[/mm]
bestehen kann, in der einige der [mm]\lambda_{\nu} \neq 0[/mm] sind. Zwei Funktionen sind aber dann und nur dann gleich, wenn sie denselben Definitions- und Bildbereich und auf allen Eingaben dieselben Wirkungen haben. Deshalb bedeutet (*) so viel wie:
(**) [mm]\left( \lambda_1 f_1 + \lambda_2 f_2 + \ldots + \lambda_n f_n \right)(x) = \Theta(x)[/mm] für alle [mm]x \in I[/mm]
Und gemäß der oben festgelegten Addition und skalaren Multiplikation sowie der Bedeutung von [mm]\Theta[/mm] heißt das wiederum
(***) [mm]\lambda_1 f_1(x) + \lambda_2 f_2 (x) + \ldots + \lambda_n f_n (x) = 0[/mm] für alle [mm]x \in I[/mm]
Mache dir klar, daß (*),(**),(***) alle dasselbe aussagen. (***) ist nur die ausführliche Schreibweise für (*), so wie etwa [mm]t \cdot t \cdot t[/mm] die ausführliche Schreibweise für [mm]t^3[/mm] ist. Und ganz wichtig ist der Akzent, der auf für alle liegt. Allerdings sind (**) und (***) Gleichungen in [mm]k[/mm], wohingegen (*) eine Gleichung in [mm]k^I[/mm] ist.
Ich habe hier zum besseren Verständnis die Nullfunktion mit [mm]\Theta[/mm] bezeichnet. Es ist aber durchaus üblich, die Nullfunktion auch mit 0 zu bezeichnen, also ganz so wie 0 in [mm]k[/mm]. Für Anfänger ist das manchmal etwas verwirrend. Aber wenn man erst einmal in der Materie drin ist, dann weiß man, welche 0 jeweils gemeint ist.
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:00 So 15.01.2006 | | Autor: | neli |
Ich hätte zu dieser Aufgabe auch einmal eine Frage
wenn ich habe, dass
[mm] \summe_{i=1}^{n} \lambda_if_i(x_j) [/mm] =0 [mm] \forall [/mm] j=1,...,n
kann ich dann sagen, dass die [mm] \lambda_i [/mm] eindeutig sind?
also auch für ein x_(n+1) immer noch die gleichen wären?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:52 Mo 16.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Eindeutigkeit hieße dann hier, dass alle [mm] $\lambda_i$ [/mm] automatisch gleich $0$ sind. Dies wäre genau dann der Fall, wenn die Spalten der Matrix $A$ aus der Aufgabenstellung linear unabhängig sind. Dies ist genau dann der Fall, wenn die Matrix $A$ regulär ist.
Unter was für Voraussetzungen also willst du deine Behauptung zeigen?
Liebe Grüße
Julius
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