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| Aufgabe | Es seien A, B beliebige Mengen. Beweisen Sie die Äquivalenz der Aussagen
(1) $A [mm] \subset [/mm] B$ (2) $A [mm] \setminus [/mm] B = [mm] \emptyset$ [/mm] (3) $A [mm] \cap [/mm] B = A$ (4) $A [mm] \cup [/mm] B$ = B
mit einem Ringschluss [mm] $\left( 1 \right) \Rightarrow \left( 2 \right) \Rightarrow\left( 3 \right) \Rightarrow\left( 4 \right) \Rightarrow\left( 1 \right) [/mm] $ |
Guten Morgen Freunde der Mathematik,
ich bin mir bei meinen Schlussfolgerungen unsicher, ob jene so stimmen. Manches kommt mir komisch vor. Es wäre nett, wenn mir jemand antwortet.
$x [mm] \in [/mm] A [mm] \subset [/mm] B [mm] \Rightarrow \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] A: x [mm] \in [/mm] B [mm] \Rightarrow \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] A: x [mm] \not\in [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] A [mm] \setminus [/mm] B = [mm] \emptyset$
[/mm]
$x [mm] \in [/mm] A [mm] \setminus [/mm] B = [mm] \emptyset \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A: x [mm] \not\in [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B =A$
$x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B =A [mm] \Rightarrow \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] A: x [mm] \in [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] A [mm] \cup [/mm] B =B$
$x [mm] \in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B =B [mm] \Rightarrow \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] A: x [mm] \in [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] A [mm] \subset [/mm] B$
Liebe Grüße
Christoph
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:35 Mo 22.10.2018 | | Autor: | fred97 |
> Es seien A, B beliebige Mengen. Beweisen Sie die
> Äquivalenz der Aussagen
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> (1) [mm]A \subset B[/mm] (2) [mm]A \setminus B = \emptyset[/mm] (3) [mm]A \cap B = A[/mm]
> (4) [mm]A \cup B[/mm] = B
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> mit einem Ringschluss [mm]\left( 1 \right) \Rightarrow \left( 2 \right) \Rightarrow\left( 3 \right) \Rightarrow\left( 4 \right) \Rightarrow\left( 1 \right)[/mm]
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> Guten Morgen Freunde der Mathematik,
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> ich bin mir bei meinen Schlussfolgerungen unsicher, ob jene
> so stimmen. Manches kommt mir komisch vor. Es wäre nett,
> wenn mir jemand antwortet.
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> [mm]x \in A \subset B \Rightarrow \forall x \in A: x \in B \Rightarrow \exists x \in A: x \not\in B \Rightarrow A \setminus B = \emptyset[/mm]
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> [mm]x \in A \setminus B = \emptyset \Rightarrow x \in A: x \not\in B \Rightarrow x \in A \cap B =A[/mm]
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> [mm]x \in A \cap B =A \Rightarrow \forall x \in A: x \in B \Rightarrow A \cup B =B[/mm]
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> [mm]x \in A \cup B =B \Rightarrow \forall x \in A: x \in B \Rightarrow A \subset B[/mm]
Das ist alles sehr komisch und ein großes Durcheinander. Stimmen tut jedenfalls nichts.
Ich mach Dir mal die Implikationen
$ [mm] \left( 1 \right) \Rightarrow \left( 2 \right)$ [/mm] und $ [mm] \left( 2 \right) \Rightarrow\left( 3\right) \$ [/mm] vor:
$ [mm] \left( 1 \right) \Rightarrow \left( 2 \right)$: [/mm] es gilt also (1) und (2) ist zu zeigen.
Dazu nimm an, es gäbe ein $x [mm] \in [/mm] A [mm] \setminus [/mm] B$. Dann ist x [mm] \in [/mm] A, aber x [mm] \notin [/mm] B. Wegen $A [mm] \subset [/mm] B$ ist dann aber doch x [mm] \in [/mm] B. Dieser Widerspruch zeigt $A [mm] \setminus [/mm] B = [mm] \emptyset$.
[/mm]
$ [mm] \left( 2 \right) \Rightarrow \left( 3 \right)$: [/mm] es gilt also (2) und (3) ist zu zeigen.
Die Inklusion $A [mm] \cap [/mm] B [mm] \subset [/mm] A$ ist klar. Zu zeigen ist also nur noch $A [mm] \subset [/mm] A [mm] \cap [/mm] B$.
Dazu sei x [mm] \in [/mm] A. Wäre x [mm] \notin [/mm] B, so wäre x [mm] \in [/mm] A [mm] \setminus [/mm] B, was aber nach Vor. unmöglich ist. Somit ist x [mm] \in [/mm] B und damit x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B.
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> Liebe Grüße
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> Christoph
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