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| Aufgabe | Sei [mm]A[/mm] ein kommutativer Ring mit Einselement. Für Ideale [mm]I[/mm], [mm]J[/mm] von A setzt man:
[mm]I[/mm] + [mm]J[/mm] := [mm]\{[/mm][mm]i[/mm] + [mm]j[/mm] | [mm]i \in I[/mm] und [mm]j \in J [/mm] [mm]\}[/mm] [mm] \subseteq A [/mm] ,
[mm]IJ[/mm] := [mm]\{[/mm][mm] i_{1}j_{1}[/mm] + [mm]\ldots[/mm] +[mm] i_{n}j_{n}[/mm] | [mm]n \in \IN [/mm], [mm]i_{1} , \ldots , i_{n} [/mm] [mm]\in I[/mm] und [mm]j_{1} , \ldots , j_{n} [/mm] [mm]\in I[/mm][mm] \}[/mm] [mm] \subseteq A [/mm]
Zeige:
a) [mm]I[/mm] + [mm]J[/mm] und [mm]IJ[/mm] sind Ideale von A
b) Für Ideale [mm] R, S, T [/mm] von [mm]A[/mm] gilt [mm]R(S + T) [/mm] = [mm](RS)[/mm] + [mm]RT[/mm]
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Hi an Alle,
um b) zu beweisen, muss man wohl nur a) beweisen können und da liegt mein Problem. Ich weiss nicht, wie ich da anfangen soll.
Hab folgende Definitionen:
Ein Ideal von [mm]A[/mm] ist eine Teilmenge [mm]I[/mm] von [mm]A[/mm], sodass
i) [mm] 0 \to I[/mm]
ii) Sind [mm]i_{1} , i_{2} \in I [/mm] so ist [mm] i_{1} [/mm] + [mm] i_{2}[/mm] [mm] \in I[/mm]
iii)[mm] \forall i \in I[/mm] , [mm]x\in A [/mm] ist [mm]xi \in I [/mm]
I und J sind ja selbst alleine Ideale. Aus Defintion 2 gilt, dass wenn man 2 "Teile" aus I hat, dass dann auch die Addition dieser 2 "Teile" in I enthalten sind. Nur jetzt habe ich eine Teil aus I und eines aus J. Ich weiss jetzt nicht, wie man hier argumentieren soll.
Zur Multiplikation fällt mir so nichts ein, wobei da auch irgendwie mit der 3. Regel argumentieren muss. Ich habe gerade nur irgendwie eine Denkblockade.
Im Voraus schon danke für die Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hiho,
geh doch einfach mal strikt die Definitonen durch, die hast du ja schon schön hingeschrieben:
> Ein Ideal von [mm]A[/mm] ist eine Teilmenge [mm]I[/mm] von [mm]A[/mm], sodass
> i) [mm]0 \to I[/mm]
> ii) Sind [mm]i_{1} , i_{2} \in I[/mm] so ist [mm]i_{1}[/mm] +
> [mm]i_{2}[/mm] [mm]\in I[/mm]
> iii)[mm] \forall i \in I[/mm] , [mm]x\in A[/mm] ist [mm]xi \in I[/mm]
zz. I+J ein Ideal, d.h.
i) $0 [mm] \in [/mm] I+J$
ii) [mm] $i_1,i_2 \in [/mm] I + J$ so auch [mm] $i_1 [/mm] + [mm] i_2 \in [/mm] I + J$
iii) [mm] $\forall [/mm] i [mm] \in [/mm] I+J, [mm] x\in [/mm] A$ ist $xi [mm] \in [/mm] I+J$
Ist also 0 in I + J ?
MFG,
Gono.
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