Ringhomomorphismus < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:04 Mo 02.05.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo
Steck wieder mal ein bißchen fest...
Bsp.:Seien R,S Ringe mit Einselement 1 bzw. 1' und sei h ein Ringepimorphismus von R nach S. Zeigen Sie h(1) = 1' ---> Beweis ist klar, schreib ich jetzt nicht auf da es dazu keine Fragen gibt.
Finden Sie ein Gegenbeispiel für den Fall, dass h nicht surjektiv ist. Zeigen Sie aber auch, dass es sich bei h wirklich um einen Ringhomomorphismus handelt.
Wir haben aufgeschrieben:
( [mm] \IZ,+,*) [/mm] und ( [mm] \IZ',+',*') [/mm] seien Ringe.
h: [mm] \IZ [/mm] -> [mm] \IZ'
[/mm]
h(x+x') = 0 = 0 *' 0 = h(x) +' h(x')
h(x*x') = 0 = 0 *' 0 = h(x) *' h(x')
OK hier haben wir einfach eine beliebige Abbildung hergenommen und einen Pseudobeweis gemacht dass das Ganze ein Homomorphismus ist.
Wieso weiß ich hier dass die Abbildung nicht surjektiv ist?
Dann kommt noch was komisches:
( [mm] \IZ,+,*) [/mm] und ( [mm] \IZ^{2}_{2},+,*)
[/mm]
x -> [mm] \pmat{ x & 0 \\ 0 & 0 }
[/mm]
1 Element [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
h(1) = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] != [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
Hier haben wir einen Grundsatz der für Homomorphismen gilt verletzt
da das neutrale Element auf ein nicht neutrales Element abgebildet wird.
Also meiner Meinung nach kein Homomorphismus. Aber was das Ganze soll
und vor allem bringt....keine Ahnung. Vielleicht wisst ihr ja Bescheid oder könnt mir dieses Beispiel anhand eines Eigenen erklären.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:29 Di 03.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Reaper!
Es handelt sich um zwei Ringhomomorphismen, die nicht surjektiv sind und daher nicht notwendigerweise das Einselement des einen Ringes auf das Einselement des anderen Ringes abbilden.
Im ersten Fall handelt es sich um die Abbildung, die alles (also alle $z [mm] \in \IZ$) [/mm] auf $0 [mm] \in \IZ'=\IZ$ [/mm] schickt. Offenbar handelt es sich um einen Ringhomomorphismus (das habt ihr nachgerechnet), der aber genauso offensichtlich nicht surjektiv ist. Daher wird $1 [mm] \in \IZ$ [/mm] nicht auf $1 [mm] \in \IZ'$ [/mm] abgebildet!
Jetzt könnte man sagen: Naja, gut, das war aber auch ein furchtbar triviales Beispiel. Im Allgemeinen wird aber doch (ansonsten) immer die $1$ auf die $1$ abgebildet, oder?
Naja, aber das zweite Beispiel zeigt, dass es auch bei weniger trivialen Beispielen nicht-surjektiver Ringhomomorphismen passieren kann, dass das Einselement des einen Ringes nicht auf das Einselement des anderen Ringes abgebildet wird. Als Ring im Urbild haben wir die ganzen Zahlen, als Ring im Bild die [mm] $2\times [/mm] 2$-Matrizen mit ganzzahligen Einträgen. Nun bilden wir eine ganze Zahl einfach auf die Matrix ab, die ganz oben links diese Zahl innehat und ansonsten nur aus $0$en besteht. Man rechnet wieder leicht nach, dass es sich um einen Ringhomomorphismus handelt (denn zwei Diagonalmatrizen werden einfach so multipliziert, dass man die jeweiligen Diagonalelemente miteinander multipliziert). Weiterhin ist klar, dass der Ringhomomorphismus nicht surjektiv ist. Denn es werden ja all die Matrizen nicht getroffen, die an den Stellen (1,2), (2,1) und (2,2) keine Nullen haben. Insbesondere wird die $1$ nicht auf das Einselement der ganzzahligen [mm] $2\times [/mm] 2$-Matrizen, nämlich [mm] $\pmat{1 & 0 \\ 0 & 1}$, [/mm] abgebildet.
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:25 Di 03.05.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo danke für die Antwort!
Nur vollständigerweishalber: Wenn ich eine Gruppe statt einem Ring gegeben hätte dann wäre es allgemein gültig dass das eine neutrale Element der einen Gruppe auf das andere neutrale Element der anderen Gruppe abgebildet wird
oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:36 Di 03.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Reaper!
Genau! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Bei einem Gruppenhomomorphismus $f:G [mm] \to [/mm] G'$ gilt immer
$f(e)=e'$,
wobei $e$ das neutrale Element in $G$ und $e'$ das neutrale Element in $G'$ ist.
Viele Grüße
Stefan
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