Ringe und Unterringe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:19 Do 21.11.2013 | | Autor: | kRAITOS |
| Aufgabe | a) Es seien K ein Körper und [mm] Abb(\IN, [/mm] K) die Menge der Abbildungen von [mm] \IN [/mm] nach K. Gegeben seien f,g [mm] \in Abb(\IN, [/mm] K). wir schreiben f(i) = [mm] a_i, [/mm] g(i) = [mm] b_i, [/mm] i [mm] \in \IN [/mm] und definieren
f [mm] \oplus [/mm] g: [mm] \IN \to [/mm] K, k [mm] \mapsto [/mm] f(k) + g(k) = [mm] a_k [/mm] + [mm] b_k
[/mm]
f [mm] \odot [/mm] g: [mm] \IN \to [/mm] K, k [mm] \mapsto \summe_{i,j \in \IN : i+j=k} a_i [/mm] * [mm] b_j
[/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] (Abb(\IN, K),\oplus, \odot) [/mm] ein kommutativer Ring ist.
b) Wir setzen [mm] Abb´(\IN, [/mm] K):= [mm] \{f \in Abb(\IN, K) | f(i) = 0 für alle bis auf endlich viele i \in \IN \}.
[/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] Abb´(\IN, [/mm] K) ein Unterring von K[t] ist. Kommt Ihnen der Ring [mm] (Abb´(\IN, K),\oplus, \odot) [/mm] bekannt vor? |
Hallo.
Ich habe keine Ahnung, wie ich hier ansetzen soll. Es wäre schön, wenn mir jemand helfen würde.
Ich weiß, dass ich zeigen soll, dass
(Abb [mm] (\IN,K), [/mm] +) muss eine abelsche Gruppe sein
(Abb [mm] (\IN,K), [/mm] *) muss eine Halbgruppe sein
und es müssen die Distributivgesetze gelten:
a * (b+c) = ab + ac sowie (a+b) * c = ac + bc [mm] \forall [/mm] a, b, c [mm] \in [/mm] Abb [mm] (\IN,K)
[/mm]
aber wie geht das hier?
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Hallo,
> a) Es seien K ein Körper und [mm]Abb(\IN,[/mm] K) die Menge der
> Abbildungen von [mm]\IN[/mm] nach K. Gegeben seien f,g [mm]\in Abb(\IN,[/mm]
> K). wir schreiben f(i) = [mm]a_i,[/mm] g(i) = [mm]b_i,[/mm] i [mm]\in \IN[/mm] und
> definieren
>
> f [mm]\oplus[/mm] g: [mm]\IN \to[/mm] K, k [mm]\mapsto[/mm] f(k) + g(k) = [mm]a_k[/mm] + [mm]b_k[/mm]
>
> f [mm]\odot[/mm] g: [mm]\IN \to[/mm] K, k [mm]\mapsto \summe_{i,j \in \IN : i+j=k} a_i[/mm]
> * [mm]b_j[/mm]
>
>
> Zeigen Sie, dass [mm](Abb(\IN, K),\oplus, \odot)[/mm] ein
> kommutativer Ring ist.
>
>
> b) Wir setzen [mm]Abb´(\IN,[/mm] K):= [mm]\{f \in Abb(\IN, K) | f(i) = 0 für alle bis auf endlich viele i \in \IN \}.[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass [mm]Abb´(\IN,[/mm] K) ein Unterring von K[t] ist. Kommt Ihnen der Ring [mm](Abb´(\IN, K),\oplus, \odot)[/mm] bekannt vor?
> Hallo.
>
> Ich habe keine Ahnung, wie ich hier ansetzen soll. Es wäre schön, wenn mir jemand helfen würde.
>
> Ich weiß, dass ich zeigen soll, dass
>
> (Abb [mm](\IN,K),[/mm] +) muss eine abelsche Gruppe sein
> (Abb [mm](\IN,K),[/mm] *) muss eine Halbgruppe sein
> und es müssen die Distributivgesetze gelten:
> a * (b+c) = ab + ac sowie (a+b) * c = ac + bc [mm]\forall[/mm] a, b, c [mm]\in[/mm] Abb [mm](\IN,K)[/mm]
>
>
> aber wie geht das hier?
Na, was ist neutrales Element bzgl. [mm]\oplus[/mm] in [mm]\operatorname{Abb}(\IN,\IK)[/mm] ?
Welche Abbildung [mm]n:\IN\to\IK[/mm] erfüllt [mm]f\oplus n=f[/mm] für alle [mm]f\in\operatorname{Abb}(\IN,\IK)[/mm] ?
Bedenke, dass das [mm]\oplus[/mm] punktweise definiert ist.
Für welche Abbildung [mm]n[/mm] gilt also [mm]f(k)+g(k)=f(k)[/mm] (für alle [mm]k\in\IN[/mm]) ?
Wenn du das hast, ist das mit der Inversen ein Klacks.
Die Kommutativität von [mm]\oplus[/mm] kannst du mit einem einfachen minimal kurzen Argument abtun. Mit welchem? Schaue auf die Def. von [mm]\oplus[/mm]. Die wird zurückgeführt auf ...
Na, das sollte doch zum anfangen reichen. Mit dem Tun kommt sicher die Erkenntnis 
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:29 Fr 22.11.2013 | | Autor: | kRAITOS |
> Hallo,
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> > a) Es seien K ein Körper und [mm]Abb(\IN,[/mm] K) die Menge der
> > Abbildungen von [mm]\IN[/mm] nach K. Gegeben seien f,g [mm]\in Abb(\IN,[/mm]
>
> > K). wir schreiben f(i) = [mm]a_i,[/mm] g(i) = [mm]b_i,[/mm] i [mm]\in \IN[/mm] und
> > definieren
> >
> > f [mm]\oplus[/mm] g: [mm]\IN \to[/mm] K, k [mm]\mapsto[/mm] f(k) + g(k) = [mm]a_k[/mm] +
> [mm]b_k[/mm]
> >
> > f [mm]\odot[/mm] g: [mm]\IN \to[/mm] K, k [mm]\mapsto \summe_{i,j \in \IN : i+j=k} a_i[/mm]
>
> > * [mm]b_j[/mm]
> >
> >
> > Zeigen Sie, dass [mm](Abb(\IN, K),\oplus, \odot)[/mm] ein
> > kommutativer Ring ist.
> >
> >
> > b) Wir setzen [mm]Abb´(\IN,[/mm] K):= [mm]\{f \in Abb(\IN, K) | f(i) = 0 für alle bis auf endlich viele i \in \IN \}.[/mm]
>
> >
> > Zeigen Sie, dass [mm]Abb´(\IN,[/mm] K) ein Unterring von K[t] ist. Kommt Ihnen der Ring [mm](Abb´(\IN, K),\oplus, \odot)[/mm] bekannt vor?
> > Hallo.
> >
> > Ich habe keine Ahnung, wie ich hier ansetzen soll. Es wäre schön, wenn mir jemand helfen würde.
> >
> > Ich weiß, dass ich zeigen soll, dass
> >
> > (Abb [mm](\IN,K),[/mm] +) muss eine abelsche Gruppe sein
> > (Abb [mm](\IN,K),[/mm] *) muss eine Halbgruppe sein
> > und es müssen die Distributivgesetze gelten:
> > a * (b+c) = ab + ac sowie (a+b) * c = ac + bc [mm]\forall[/mm] a, b, c [mm]\in[/mm] Abb [mm](\IN,K)[/mm]
> >
> >
> > aber wie geht das hier?
>
> Na, was ist neutrales Element bzgl. [mm]\oplus[/mm] in [mm]\operatorname{Abb}(\IN,\IK)[/mm] ?
Das neutrale Element ist die 0.
>
> Welche Abbildung [mm]n:\IN\to\IK[/mm] erfüllt [mm]f\oplus n=f[/mm] für alle [mm]f\in\operatorname{Abb}(\IN,\IK)[/mm] ?
[mm] n:\IN\to\IK, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] 0
> Bedenke, dass das [mm]\oplus[/mm] punktweise definiert ist.
Was heißt punktweise definiert?
> Für welche Abbildung [mm]n[/mm] gilt also [mm]f(k)+g(k)=f(k)[/mm] (für alle [mm]k\in\IN[/mm]) ?
[mm] n:\IN\to\IK, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] 0
> Wenn du das hast, ist das mit der Inversen ein Klacks.
>
> Die Kommutativität von [mm]\oplus[/mm] kannst du mit einem einfachen minimal kurzen Argument abtun. Mit welchem? Schaue auf die Def. von [mm]\oplus[/mm]. Die wird zurückgeführt auf ...
Kann ich hier nicht von der Definition der additiven Verknüpfung in der Aufgabe ausgehen?
f(i) = [mm] a_i, [/mm] g(i) = [mm] b_i
[/mm]
also [mm] a_i [/mm] + [mm] b_i [/mm] = [mm] b_i [/mm] + [mm] a_i?
[/mm]
> Na, das sollte doch zum anfangen reichen. Mit dem Tun kommt sicher die Erkenntnis
Na ich hoffe es mal. 
> Gruß
>
> schachuzipus
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Hallo nochmal,
Mist, falschen Knopf gedrückt, jetzt darf ich alles nochmal tippen ...
> > Na, was ist neutrales Element bzgl. [mm]\oplus[/mm] in [mm]\operatorname{Abb}(\IN,\IK)[/mm] ?
>
> Das neutrale Element ist die 0.
Jaja schon, aber das ist hier ja eine Funktion bzw. Abbildung.
Beschreibe mal diese "0" genauer ... Welche Abbildung ist das denn genau?
>
> >
> > Welche Abbildung [mm]n:\IN\to\IK[/mm] erfüllt [mm]f\oplus n=f[/mm] für alle [mm]f\in\operatorname{Abb}(\IN,\IK)[/mm] ?
>
> [mm]n:\IN\to\IK,[/mm] x [mm]\mapsto[/mm] 0
Aha, da stehts ja!
Genau diese Abbildung n, die jedes Element aus [mm] $\IN$ [/mm] auf die Körper-Null schickt, ist unsere "0" in [mm] $\operatorname{Abb}(\IN,\IK)$
[/mm]
Gut!
>
> > Bedenke, dass das [mm]\oplus[/mm] punktweise definiert ist.
>
> Was heißt punktweise definiert?
[mm]f\oplus g:=f(x)+g(x)[/mm] für alle [mm]x\in\IN[/mm]
Beachte: das [mm]\oplus[/mm] ist die additive Verknüpfung in [mm]\operatorname{Abb}(\IN,\IK)[/mm], das [mm]+[/mm] die additive Verknüpfung in [mm]\IK[/mm] - und über die weißt du ja so einiges. Das musst du im Beweis in die Waagschale werfen.
> Kann ich hier nicht von der Definition der additiven Verknüpfung in der Aufgabe ausgehen?
>
> f(i) = [mm]a_i,[/mm] g(i) = [mm]b_i[/mm]
>
> also [mm]a_i[/mm] + [mm]b_i[/mm] = [mm]b_i[/mm] + [mm]a_i?[/mm]
Das ist keine Definition der Verknüpfung, sondern nur eine abkürzende Schreibweise für die Funkktionswerte [mm]f(i)[/mm], also die Elemente in [mm]\IK[/mm]
Ich würde dir aber empfehlen, [mm]f(i), g(i)[/mm] usw. zu schreiben. Das scheint mir eher zum Verständnis beizutragen ...
Dann geh's mal an!
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:54 Fr 22.11.2013 | | Autor: | kRAITOS |
Irgendwie stehe ich gerade auf dem Schlauch...
Ich habe jetzt das neutrale Element, bzw die Abbildung für das neutrale Element...
Aber wie geht es jetzt weiter?
Ich weiß, dass ich noch das inverse Element brauche, die Assoziativität und die Kommutativität, um die additive Verknüpfung zu zeigen.
Für die Assoziativität heißt es ja: f(x) + ( (g(x) + h(x) ) = ( f(x) + (g(x) ) + h(x)
Für das inverse Element, muss es ein [mm] f^{-1} [/mm] geben, sodass [mm] f^{-1} [/mm] + f = e
Und für die Kommutativität: f(x) + g(x) = g(x) + f(x)
Doch wie wende ich das jetzt an bzw wie zeige ich das... Irgendwie tue ich mich da recht schwer...
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Hallo nochmal,
> Irgendwie stehe ich gerade auf dem Schlauch...
>
> Ich habe jetzt das neutrale Element, bzw die Abbildung für
> das neutrale Element...
>
> Aber wie geht es jetzt weiter?
>
>
> Ich weiß, dass ich noch das inverse Element brauche, die
> Assoziativität und die Kommutativität, um die additive
> Verknüpfung zu zeigen.
>
>
> Für die Assoziativität heißt es ja: f(x) + ( (g(x) +
> h(x) ) = ( f(x) + (g(x) ) + h(x)
Erstmal heißt es (und ist zu zeigen), dass für bel. [mm]f,g,h\in Abb(\IN,\IK)[/mm] gilt
[mm]f\oplus(g\oplus h)=(f\oplus g)\oplus h[/mm] gilt.
Dazu verwendet man die punktweise Definition:
Sei [mm]k\in \IN[/mm] beliebig, dann ist [mm]f(k)+(g(k)+h(k))=(f(k)+g(k))+h(k)[/mm] wegen der Assoziativität von "+" in [mm]\IK[/mm]
Da dies für beliebiges k gilt, gilt es für alle [mm]k\in\IN[/mm], mithin [mm]f\oplus(g\oplus h)=(f\oplus g)\oplus h[/mm], was zu zeigen war.
>
> Für das inverse Element, muss es ein [mm]f^{-1}[/mm] geben, sodass
> [mm]f^{-1}[/mm] + f = e
Ja, wobei [mm]e[/mm] unsere Abbildung [mm]n:\IN\to\IK, k\mapsto 0_{\IK}[/mm] ist.
Und das additiv Inverse bezeichnet man gerne mit -f, damit ist schon klar, welche Abbildung zu f additiv invers ist.
Welche?
>
> Und für die Kommutativität: f(x) + g(x) = g(x) + f(x)
Darauf führst du das zurück. Und du weißt ja schon, dass in [mm]\IK[/mm] (und da bist du mit [mm]f(x),g(x)[/mm]) die Kommutatuvität gilt
Zu zeigen ist [mm]f\oplus g=g\oplus f[/mm]
Dazu seien [mm]f,g\in Abb(\IN,\IK)[/mm] und [mm]x\in\IN[/mm] beliebig.
Dann gilt [mm]f(x)+g(x)=g(x)+f(x)[/mm] wegen der Kommutativ. in [mm]\IK[/mm]
Mithin gilt das für alle [mm]x\in\IN[/mm], also [mm]f\oplus g=g\oplus f[/mm]
>
> Doch wie wende ich das jetzt an bzw wie zeige ich das...
> Irgendwie tue ich mich da recht schwer...
Das kommt mit der Zeit, wenn du einige solcher Dinger erlegt hast.
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:18 Sa 23.11.2013 | | Autor: | kRAITOS |
> Hallo nochmal,
>
>
> > Irgendwie stehe ich gerade auf dem Schlauch...
> >
> > Ich habe jetzt das neutrale Element, bzw die Abbildung
> für
> > das neutrale Element...
> >
> > Aber wie geht es jetzt weiter?
> >
> >
> > Ich weiß, dass ich noch das inverse Element brauche,
> die
> > Assoziativität und die Kommutativität, um die
> additive
> > Verknüpfung zu zeigen.
> >
> >
> > Für die Assoziativität heißt es ja: f(x) + ( (g(x) +
> > h(x) ) = ( f(x) + (g(x) ) + h(x)
>
> Erstmal heißt es (und ist zu zeigen), dass für bel.
> [mm]f,g,h\in Abb(\IN,\IK)[/mm] gilt
>
> [mm]f\oplus(g\oplus h)=(f\oplus g)\oplus h[/mm] gilt.
>
> Dazu verwendet man die punktweise Definition:
>
> Sei [mm]k\in \IN[/mm] beliebig, dann ist
> [mm]f(k)+(g(k)+h(k))=(f(k)+g(k))+h(k)[/mm] wegen der Assoziativität
> von "+" in [mm]\IK[/mm]
>
> Da dies für beliebiges k gilt, gilt es für alle [mm]k\in\IN[/mm],
> mithin [mm]f\oplus(g\oplus h)=(f\oplus g)\oplus h[/mm], was zu
> zeigen war.
>
> >
> > Für das inverse Element, muss es ein [mm]f^{-1}[/mm] geben,
> sodass
> > [mm]f^{-1}[/mm] + f = e
>
> Ja, wobei [mm]e[/mm] unsere Abbildung [mm]n:\IN\to\IK, k\mapsto 0_{\IK}[/mm]
> ist.
>
> Und das additiv Inverse bezeichnet man gerne mit -f, damit
> ist schon klar, welche Abbildung zu f additiv invers ist.
>
> Welche?
Na hier ist es dann -f, da f + (-f) = 0 = e.
Doch was ist dann mit g? Muss ich nicht eher -g nehmen und dann ist f + (-g) = 0 = e.
> > Und für die Kommutativität: f(x) + g(x) = g(x) + f(x)
>
> Darauf führst du das zurück. Und du weißt ja schon, dass
> in [mm]\IK[/mm] (und da bist du mit [mm]f(x),g(x)[/mm]) die Kommutatuvität
> gilt
>
> Zu zeigen ist [mm]f\oplus g=g\oplus f[/mm]
>
> Dazu seien [mm]f,g\in Abb(\IN,\IK)[/mm] und [mm]x\in\IN[/mm] beliebig.
>
> Dann gilt [mm]f(x)+g(x)=g(x)+f(x)[/mm] wegen der Kommutativ. in [mm]\IK[/mm]
>
> Mithin gilt das für alle [mm]x\in\IN[/mm], also [mm]f\oplus g=g\oplus f[/mm]
>
>
> >
> > Doch wie wende ich das jetzt an bzw wie zeige ich
> das...
> > Irgendwie tue ich mich da recht schwer...
>
> Das kommt mit der Zeit, wenn du einige solcher Dinger
> erlegt hast.
>
> Gruß
>
> schachuzipus
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Hallo,
Du möchtest gerade zeigen, daß [mm] Abb(\IN,K) [/mm] zusammen mit der "üblichen" Addition von Abbildungen
f [mm] \oplus [/mm] g: [mm] \IN \to [/mm] K, k [mm] \mapsto [/mm] f(k) + g(k) für alle [mm] f,g\in Abb(\IN,K)
[/mm]
eine Gruppe bildet.
> > Erstmal heißt es (und ist zu zeigen), dass für bel.
> > [mm]f,g,h\in Abb(\IN,\IK)[/mm] gilt
> >
> > [mm]f\oplus(g\oplus h)=(f\oplus g)\oplus h[/mm] gilt.
> >
> > Dazu verwendet man die punktweise Definition:
> >
> > Sei [mm]k\in \IN[/mm] beliebig, dann ist
> > [mm]f(k)+(g(k)+h(k))=(f(k)+g(k))+h(k)[/mm] wegen der Assoziativität
> > von "+" in [mm]\IK[/mm]
> >
> > Da dies für beliebiges k gilt, gilt es für alle [mm]k\in\IN[/mm],
> > mithin [mm]f\oplus(g\oplus h)=(f\oplus g)\oplus h[/mm], was zu
> > zeigen war.
> >
> > >
> > > Für das inverse Element, muss es ein [mm]f^{-1}[/mm] geben,
> > sodass
> > > [mm]f^{-1}[/mm] + f = e
> >
> > Ja, wobei [mm]e[/mm] unsere Abbildung [mm]n:\IN\to\IK, k\mapsto 0_{\IK}[/mm]
> > ist.
> >
> > Und das additiv Inverse bezeichnet man gerne mit -f, damit
> > ist schon klar, welche Abbildung zu f additiv invers ist.
> >
> > Welche?
>
> Na hier ist es dann -f, da f + (-f) = 0 = e.
Das reicht nicht.
-f ist einfach nur ein f mit einem Strich davor.
Du müßtest schon erklären, welche Abbildung Du damit meinst, und dann vorrechnen, daß sie wirklich das additive Inverse von f ist.
Zu zeigen ist ja: für alle [mm] f\in Abb(\IN,K) [/mm] gibt es eine passende Abbildung -f, so daß [mm] f\oplus [/mm] -f=Nullabbildung.
Beweis: Sei [mm] f\in Abb(\IN,K).
[/mm]
Es sei [mm] -f\in Abb(\IN,K) [/mm] mit
(-f)(x):=-f(x).
Mach Dir an dieser Stelle den Unterschied klar:
(-f)(x) ist der Funktionswert der Funktion -f an der Stelle x.
-f(x) hingegen ist das additive Inverse (in K) des Funktionswertes von f an der Stelle x.
Wenn -f definiert ist, mußt Du vorrechnen, daß es tut, was es soll, daß nämlich [mm] -f\oplus [/mm] f=n:
Für alle [mm] x\in \IN [/mm] ist
[mm] (-f\oplus [/mm] f)(x)= ...=...=...=...=0
==> [mm] -f\oplus [/mm] f=n.
>
>
> Doch was ist dann mit g? Muss ich nicht eher -g nehmen und
> dann ist f + (-g) = 0 = e.
???
Du mußt einfach sagen, welche Funktion eine beliebige Funktion f invertiert.
Ob Du das inverse -f, g, [mm] g_f, [/mm] oder grünkarierte Türklinke nennst, ist völlig egal.
LG Angela
>
>
> > > Und für die Kommutativität: f(x) + g(x) = g(x) + f(x)
> >
> > Darauf führst du das zurück. Und du weißt ja schon, dass
> > in [mm]\IK[/mm] (und da bist du mit [mm]f(x),g(x)[/mm]) die Kommutatuvität
> > gilt
> >
> > Zu zeigen ist [mm]f\oplus g=g\oplus f[/mm]
> >
> > Dazu seien [mm]f,g\in Abb(\IN,\IK)[/mm] und [mm]x\in\IN[/mm] beliebig.
> >
> > Dann gilt [mm]f(x)+g(x)=g(x)+f(x)[/mm] wegen der Kommutativ. in [mm]\IK[/mm]
> >
> > Mithin gilt das für alle [mm]x\in\IN[/mm], also [mm]f\oplus g=g\oplus f[/mm]
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:39 Sa 23.11.2013 | | Autor: | kRAITOS |
Danke für eure Hilfe.
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