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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:02 Mi 24.09.2008 | | Autor: | johnny11 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie: [mm] \IZ[i]=\{ a+bi | a , b \in \IZ \} \subset \IC [/mm] und bestimmen Sie [mm] U(\IZ[i]). [/mm] |
Der erste Teil der Aufgabe konnte ich lösen, doch wie finde ich [mm] U(\IZ[i]) [/mm] heraus?
Sei x:= [mm] (a_1+b_1i) [/mm] und y:= [mm] (a_2+b_2i)
[/mm]
Es muss also gelten: x*y= x*y = 1
Ich habe den Ausdruck mal ausmultipliziert und danach versucht, einen schlauen Schluss ziehen zu können. Doch leider ohne Erfolg.
Muss ich einen ganz anderen Weg wählen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:07 Mi 24.09.2008 | | Autor: | andreas |
hi
betrachte die abbildung $N: [mm] \mathbb{Z}[i] \longrightarrow \mathbb{R}; [/mm] z [mm] \longmapsto |z|^2$. [/mm] welche werte werden angenommen? was ist $N(1)$? zeige dann, dass $N(zw) = N(z)N(w)$. welche werte kommen infolge dessen für einheiten von [mm] $\mathbb{Z}[i]$ [/mm] unter $N$ noch in frage?
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:55 Mo 29.09.2008 | | Autor: | johnny11 |
| Aufgabe | Zeigen Sie: [mm] \IZ[i]=\{ a+bi | a , b \in \IQ \} \subset \IC [/mm] und bestimmen Sie [mm] U(\IQ[i]).
[/mm]
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Die vordere Aufgabe habe ich mittlerweilen lösen können. Hier habe ich wieder eine Frage zum zweiten Teil.
Es muss ja wiederum gelten dass (a+bi) * (a'+b'i) = 1.
Ich setze x := (a+bi) und y := (a'+b'i).
Weiter wähle ich y := [mm] x^{-1}.
[/mm]
Also [mm] x^{-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{a+bi}
[/mm]
Muss also zeigen, dass [mm] \bruch{1}{a+bi} \in \IQ [/mm] ist, (mit a , b [mm] \in \IQ).
[/mm]
Ich habe mal so begonnen:
[mm] \bruch{1}{a+bi} [/mm] = [mm] \bruch{1}{a+bi} [/mm] * [mm] \bruch{a-bi}{a-bi} [/mm] = [mm] \bruch{a-bi}{a^2+b^2} [/mm] = ...
doch danach bin ich nicht mehr weitergekommen.
Kann mir jemand ein wenig weiterzeigen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:03 Mo 29.09.2008 | | Autor: | fred97 |
Du mußt zeigen
[mm] Re(\bruch{1}{a+bi}), Im(\bruch{1}{a+bi}) \in \IQ
[/mm]
$ [mm] \bruch{1}{a+bi} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1}{a+bi} [/mm] $ * $ [mm] \bruch{a-bi}{a-bi} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{a-bi}{a^2+b^2} [/mm] $ = [mm] \bruch{a}{a^2+b^2} [/mm] +i [mm] \bruch{-b}{a^2+b^2}
[/mm]
Gilt nun [mm] \bruch{a}{a^2+b^2}, \bruch{-b}{a^2+b^2} \in \IQ [/mm] ???
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:35 Mo 29.09.2008 | | Autor: | johnny11 |
aja genau, so gehts. danke.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:19 Sa 18.10.2008 | | Autor: | johnny11 |
Habe bemerkt, dass ich die Aufgabe doch nicht ganz richtig verstanden habe.
Es gilt ja [mm] \IZ[i] [/mm] := [mm] \bigcap_{i \in R, \IZ \subset R}R
[/mm]
Ich muss nun zeigen, dass [mm] \IZ[i] [/mm] = {a + bi | a , b [mm] \in \IZ\}.
[/mm]
Die eine Richtung ( [mm] \subseteq [/mm] ) habe ich meiner Meinung nach zeigen können:
Sei {a + bi | a , b [mm] \in \IZ\} [/mm] := A.
A ist ein Ring. A enthält [mm] \IZ [/mm] und A enthält auch i.
Also [mm] \IZ \subset [/mm] A und i [mm] \in [/mm] A.
Ist dies korrekt?
Und wie kann ich nun die andere Richtung zeigen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:16 Mo 20.10.2008 | | Autor: | andreas |
hi
das scheint zu passen. für die andere richtung überlege dir, dass jeder (teil-)ring von [mm] $\mathbb{C}$, [/mm] welcher $i$ und [mm] $\mathbb{Z}$ [/mm] enthält, auch [mm] $i\mathbb{Z} [/mm] = [mm] \{ib : b \in \mathbb{Z}\}$ [/mm] und wegen der abgeschlossenheit bezüglich der addition auch $A$ enthaten muss.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:35 Mi 22.10.2008 | | Autor: | johnny11 |
aja tiptop. danke.
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