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| Aufgabe | Finden Sie [mm] \overline{x} [/mm] in [mm] \IZ/11\IZ, [/mm] so dass folgende Gleichung in [mm] \IZ/11\IZ [/mm] erfüllt ist.
(a) [mm] \overline{6}\cdot \overline{x}=\overline{2} [/mm] |
Hallo,
bin dankbar für jede Hilfe. Ich muß diese Aufgabe zwar nicht selbständig lösen, da die Lösung schon im Skript steht. Ich verstehe aber nicht, wie man darauf kommt.
Also, die Lösung ist laut Skript folgende:
Die Gleichung soll nach [mm] \overline{x} [/mm] umgeformt werden, wobei man beachten muss, dass man in [mm] \IZ/11\IZ [/mm] rechnet. Man multipliziert nun mit dem in [mm] \IZ/11\IZ [/mm] zu [mm] \overline{6} [/mm] multiplikativ inversen Element. Es ist nun [mm] \overline{6}^{-1} [/mm] = [mm] \overline{2}, [/mm] also [mm] \overline{x} [/mm] = [mm] \overline{2}\cdot \overline{2} [/mm] = [mm] \overline{4}. [/mm] Die multiplikativ inversen findet man dabei durch Ausprobieren. Somit ist [mm] \overline{x} [/mm] = [mm] \overline{4} [/mm] also eine Lösung.
Nun meine Überlegungen bzw. Fragen: Es erscheint mir sinnvoll, dass man die Gleichung mit dem in [mm] \IZ/11\IZ [/mm] zu [mm] \overline{6} [/mm] multiplikativ inversen multiplizieren muß. Denn wenn man ein Element mit seinem inversen Element entsprechend verknüpft erhält man das entsprechend neutrale Element. Hier in diesem Fall ist das neutrale Element die 1, die man in dieser Gleichung dann rausstreichen kann. Man hat also die Gleichung nach [mm] \overline{x} [/mm] aufgelöst.
Ich weiß allerdings nicht, wie man durch ausprobieren darauf kommt, dass in [mm] \IZ/11\IZ [/mm] das multiplikativ inverse von [mm] \overline{6} [/mm] = [mm] \overline{2} [/mm] ist???
[mm] \IZ/11\IZ [/mm] ist doch definiert als die folgende Menge [mm] \left\{{{\overline{0},\overline{1},....\overline{n-1}}}\right\}, [/mm] wobei die Elemente dieser Menge die folgenden disjunkten Mengen sind:
[mm]\overline{0} = \left\{ {0 + kn | k\in\IZ}\right\}, ........ \overline{n-1} = \left\{ {n - 1 + kn | k\in\IZ}\right\}[/mm]
Ich verstehe nicht, wie man, wenn man die eben beschriebenen Definitonen zugrunde legt, auf die Lösung der Aufgabe kommt???
Kann man sagen, dass [mm] \IZ/11\IZ [/mm] die Menge der Restklassen für n = 11 ist??
Vielen Dank schon mal im Voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:44 Di 23.10.2007 | | Autor: | statler |
Hey!
> Finden Sie [mm]\overline{x}[/mm] in [mm]\IZ/11\IZ,[/mm] so dass folgende
> Gleichung in [mm]\IZ/11\IZ[/mm] erfüllt ist.
> (a) [mm]\overline{6}\cdot \overline{x}=\overline{2}[/mm]
> Ich verstehe nicht, wie man, wenn man die eben
> beschriebenen Definitonen zugrunde legt, auf die Lösung der
> Aufgabe kommt???
> Kann man sagen, dass [mm]\IZ/11\IZ[/mm] die Menge der Restklassen
> für n = 11 ist??
Ja, das kann man sagen! Wenn du die Restklasse mit der 0 wegläßt, kann man für die restlichen 10 eine Verküpfungstafel ('Gruppentafel') aufstellen, aus der man sofort die Inversen ablesen kann. Oder man probiert in [mm] \overline{6}\cdot \overline{x} [/mm] alle [mm] \overline{x} [/mm] durch, bis sich [mm] \overline{1} [/mm] ergibt; die Menge der Restklassen ist gottseidank endlich, also wird man auch fertig.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
Nachtrag: ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
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Hallo,
wie würde denn in diesem Fall die Verknüpfungstfafel aussehen? Ich kann mir das im Zusammenhang mit den Restklassen nämlich nicht so richtig vorstellen?
Vielen Dank und viele Grüße!
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> wie würde denn in diesem Fall die Verknüpfungstfafel
> aussehen? Ich kann mir das im Zusammenhang mit den
> Restklassen nämlich nicht so richtig vorstellen?
Hallo,
prinzipiell weißt Du aber, was eine Verknüpfungstafel ist? Davon gehe ich aus.
Und Du suchst nun eine für $ [mm] \IZ/11\IZ [/mm] $\ [mm] \{\overline{0}\}.
[/mm]
An die Ränder schreibst Du also [mm] \overline{1},\overline{2},...,\overline{10}, [/mm] und dann rechnest Du los.
Ich rechne Dir ein Beispiel vor, damit Du siehst, daß es einfach ist.
Ich will wissen, was [mm] \overline{10}*\overline{4} [/mm] ergibt.
Ich rechne 10*4=40=3*11+7, also Rest 7, und weiß [mm] \overline{10}*\overline{4}=\overline{7}.
[/mm]
Wenn Du nun Deine Tafel aufgestellt hast, siehst Du ja, welche Multiplikationen [mm] \overline{1} [/mm] ergeben, und kannst daraus die Inversen zu beliebigen Elementen bequem ablesen.
Gruß v. Angela
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