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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:34 Sa 24.10.2009 | | Autor: | lga79 |
[mm] \IK[x]/(x^{2}+1) [/mm] für [mm] \IK= \IQ, \IR, \IC [/mm] oder [mm] \IF_{2}:= \IZ/2\IZ.
[/mm]
Hat dieser Ring einen Nullteiler?
Könnt ihr mir einige Beispiele für [mm] \IK[x]/(x^{2}+1) [/mm] geben, damit ich die Aufgabe bearbeiten kann.
Danke.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:08 So 25.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> [mm]\IK[x]/(x^{2}+1)[/mm] für [mm]\IK= \IQ, \IR, \IC[/mm] oder [mm]\IF_{2}:= \IZ/2\IZ.[/mm]
>
> Hat dieser Ring einen Nullteiler?
> Könnt ihr mir einige Beispiele für [mm]\IK[x]/(x^{2}+1)[/mm]
> geben, damit ich die Aufgabe bearbeiten kann.
Was genau meinst du mit Beispiele? Ein Beispiel ist [mm] $\IQ[x]/(x^2 [/mm] + 1)$. Das wird dir jetzt nichts bringen.
Meinst du Beispiele, wie man darin rechnet? Die Elemente lassen sich eindeutig schreiben als $a x + b + [mm] (x^2 [/mm] + 1)$ mit $a, b [mm] \in \IQ$. [/mm] Addieren tust du einfach Komponentenweise: $(a x + b + [mm] (x^2 [/mm] + 1)) + (a' x + b' + [mm] (x^2 [/mm] + 1)) = (a + a') x + (b + b') + [mm] (x^2 [/mm] + 1)$.
Multiplizieren tust du modulo [mm] $x^2 [/mm] + 1$: es ist $(a x + b + [mm] (x^2 [/mm] + 1)) + (a' x + b' + [mm] (x^2 [/mm] + 1)) = a a' [mm] x^2 [/mm] + (a b' + a' b) x + b b' + [mm] (x^2 [/mm] + 1)$; nun kannst du $a a' [mm] x^2 [/mm] + (a b' + a' b) x + b b'$ durch [mm] $x^2 [/mm] + 1$ teilen (Division mit Rest) und den Rest nehmen.
Konkreter zur Aufgabe: wenn $a x + b$ in [mm] $\IK[x]/(x^2 [/mm] + 1)$ ein Nullteiler ist, dann gibt es ein $a' x + b'$ mit $(a x + b) (a' x + b') [mm] \in (x^2 [/mm] + 1)$, womit [mm] $x^2 [/mm] + 1$ ein Teiler von $(a x + b) (a' x + b')$ ist. Also muss $(a x + b) (a' x + b')$ ein Vielfaches von [mm] $x^2 [/mm] + 1$ sein -- dies bedeutet aber gerade, dass [mm] $x^2 [/mm] + 1$ nicht irreduzibel ist ueber [mm] $\IK$.
[/mm]
LG Felix
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