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| Aufgabe | Sei R = R[t] und [mm] \bar [/mm] R = [mm] R/(t^n [/mm] − 1)R.
a) Sei n = 4. Beschreiben Sie [mm] \bar [/mm] R als ein kartesisches Produkt von Körpern. Wieviele [mm] a\in \bar [/mm] R erfüllen
die Gleichung [mm] a^2 [/mm] = a?
b) Gleiche Aufgabe wie a) jetzt mit n = 3, wobei die Polynome f [mm] \in [/mm] R mit Grad f < 3 und [mm] \bar f^2= \bar [/mm] f
explizit anzugeben sind. |
ICh hab da nicht wirklich eine Idee zu wir haben also ein Ring R/ [mm] (t^4-1)R [/mm] aber wie beschreibt man das jetzt als Kartesische Produkt von Körper?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:24 Di 26.05.2015 | | Autor: | hippias |
Hast Du denn ueberhaupt einmal versucht ein paar Teilkoerper zu finden? Vielleicht bilden diese ja schon die direkte Summe. Sonst wuerde ich den Chinesischen Restsatz anwenden.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:16 Di 26.05.2015 | | Autor: | Natscha89 |
Und wie gehe ich da vor?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:51 Di 26.05.2015 | | Autor: | hippias |
Worin besteht denn das Problem: Weisst Du nicht, was ein Teilkoerper ist, oder kennst Du den Chinesischen Restsatz nicht...? Wofuer steht eigentlich $R$?
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R= [mm] \IR[/mm] [t]
und ein Teilkörper wäre doch zB [mm] t^4-1
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:19 Di 26.05.2015 | | Autor: | hippias |
> R= [mm]\IR[/mm] [t]
> und ein Teilkörper wäre doch zB [mm]t^4-1[/mm]
Nein, das ist ein Polynom, ein Element des Polynomringes [mm] $\IR[/mm] [t]$. Schlage unbedingt die Definition von Ring und Koerper nach. Auch den Chinesischen Restsatz.
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Ja ein Körper ist ein kommutativer, nullteiler freier Ring also wäre R/ [mm] t^4-1 [/mm] einer aber das doch gleich das ganze. Was wäre denn dann ein Teilkörper?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:49 Di 26.05.2015 | | Autor: | hippias |
Hallo Natscha89,
ich moechte Dir ganz dringend raten die Fachterminologie anzueignen. Ohne die genauen Definitionen der benutzten Begriffe zu kennen, ist niemand in der Lage ein Problem sicher zu loesen.
Weder lautet die Definition eines Koerpers "kommutativer, nullteilerfreier Ring", noch ist [mm] $R/t^{4}-1$ [/mm] Deiner Aufgabe ein solcher. Ich hatte Dich gebeten den Begriff nachzuschlagen, aber Du wartest stattdessen scheinbar darauf, dass jemand fuer Dich Deine Hausaufgaben macht. Ebenso der Hinweis auf den Restsatz.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:05 Di 26.05.2015 | | Autor: | Natscha89 |
So haben wir das aber defeniert. Ein Ring ist ein Körper, wenn zusätzlich gilt:
Inverses bzgl. Multiplikation
Nullteilerfrei
und kommutativ bzgl Multiplikation
und der Chinesische Restsatz besagt:
Sei R ein kommutativer Ring. Seien I1, . . . , In Ideale von R
mit Ij + Ik = R für j [mm] \not= [/mm] k, ferner sei I := I1 [mm] \cap [/mm] . . [mm] .\cap [/mm] In. Dann ist für c1, . . . , cn [mm] \in [/mm] R das System von
Kongruenzen
[mm] x\equiv [/mm] c1 (mod I1), . . . , x [mm] \equiv [/mm] cn (mod In)
lösbar, und mit einer speziellen Lösung x0 [mm] \in [/mm] R ist x0 + I die Lösungsmenge.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Do 28.05.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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