Ring und Ideal < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei p eine Primzahl, [mm] v_{p}: \IQ [/mm] -> [mm] \IR [/mm] die durch
[mm] v_{p}(a) [/mm] = 0 für a = 0 und [mm] v_{p}(a) [/mm] = [mm] p^{-w_{p}(a)} [/mm] für a [mm] \not= [/mm] 0 gegebene Abbildung, wobei [mm] w_p(a) [/mm] die Vielfachheitsfunktion ist.
1.) Sei R:={ a| a [mm] \in \IQ [/mm] und [mm] v_{p}(a) \le [/mm] 1 }. R ist bezüglich der Addition und Multiplikation bzgl. [mm] \IQ [/mm] ein kommutativer Ring mit Einselement.
2.) für jedes k [mm] \in \IN [/mm] ist [mm] I_{k}:= [/mm] { a | a [mm] \in \IQ [/mm] und [mm] v_{p}(a) \le (\bruch{1}{p})^{k} [/mm] } ein Ideal in R.
3.) Sei X [mm] \not= [/mm] 0 ein Ideal von R, so gibt es ein k [mm] \in \IN, [/mm] so dass X = [mm] I_{k} [/mm] gilt. |
Hallo,
folgende Lösungen habe ich bzw. folgende Fragen:
zu 1.)
Hier habe ich nur gezeigt, dass + und * Verknüpfungen auf R sind, d.h. dass a+b und a*b in R liegen. Da 1 [mm] \in [/mm] R und 0 [mm] \in [/mm] R übertragen sich die anderen Gesetze von [mm] \IQ, [/mm] oder? (Wenn ja, kann ich das dann einfach so schreiben)
Also 1. Beh.: + ist eine Verknüpfung. Sei dazu a,b [mm] \in [/mm] R mit a,b [mm] \not=0 [/mm] (Im Falle a oder b=0 ist [mm] v_{p}(a) \le [/mm] 1 und damit a+b eine Verknüpfung auf R). Dann gilt: [mm] p^{-w_{p}(a+b)} \le p^{-min(w_{p}(a),w_{p}(b))} [/mm] (mit den Eigenschaften der Vielfachheitsfunktion) und da a,b [mm] \in [/mm] R ist + eine Verknüpfung auf R.
Und 2. Beh.: * ist eine Verknüpfung. Sei a,b [mm] \in [/mm] R mit a,b [mm] \not= [/mm] 0 (Begründung ähnlich zu oben). Dann gilt [mm] v_{p}(a*b) [/mm] = [mm] p^{-w_{p}(a*b)} [/mm] = [mm] p^{-(w_{p}(a) + w_{p}(b))} \le p^{-w_{p}(a)} [/mm] bzw. [mm] p^{-w_{p}(b)} [/mm] also ist a*b in R und * damit eine Verknüpfung.
2.) ist klar, einfach die Idealeigenschaften geprüft und nachgewiesen
3.) Hier habe ich folgende Idee, bin mir aber nicht vollkommen sicher, ob die richtig ist:
Sei X ein Ideal in R. Dann gilt einerseits für x, [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} \in [/mm] X, dass [mm] x_{1} [/mm] - [mm] x_{2} \in [/mm] X, aber auch x*a [mm] \in [/mm] X für a [mm] \in [/mm] R. Nun ist X aber auch eine Teilmenge von R, d.h. sowohl x als auch a haben die Eigenschaft, dass [mm] v_{p}(a) [/mm] und [mm] v_{p}(x) \le [/mm] 1 ist bzw. [mm] p^{-w_{p}(a)} [/mm] und [mm] p^{-w_{p}(a)} \le [/mm] 1. Wenn mann sich nun das Produkt von x und a anschaut, dann liegt das ja auf jeden Fall in X (da Ideal) und es gilt:
[mm] p^{-w_{p}(a*x)} [/mm] = [mm] p^{-(w_{p}(a)+ w_{p}(x))} [/mm] = [mm] \bruch{1}{p^{w_{p}(a)+ w_{p}(x)}}.
[/mm]
Nun habe ich mir folgendes gedacht. Die Vielfachheitsfunktion liefert mir ja Werte in [mm] \IZ, [/mm] d.h. wenn a* = [mm] w_{p}(a) [/mm] und x* = [mm] w_{p}(x), [/mm] dann haben a* und x* ja einen ggt d, der eindeutig ist und für den gilt, dass sa* + rx* = d. Ich würde jetzt einfach k = d setzen und damit wäre die Behauptung ja gezeigt. Ich glaube aber, dass mir noch etwas in meiner Argumentation fehlt oder ist die Idee Blödsinn?
Danke, Steffen
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:08 Mi 30.04.2008 | | Autor: | statler |
Hi Steffen!
> 3.) Sei X [mm]\not=[/mm] 0 ein Ideal von R, so gibt es ein k [mm]\in \IN,[/mm]
> so dass X = [mm]I_{k}[/mm] gilt.
> 3.) Hier habe ich folgende Idee, bin mir aber nicht
> vollkommen sicher, ob die richtig ist:
>
> Sei X ein Ideal in R. Dann gilt einerseits für x, [mm]x_{1}[/mm] und
> [mm]x_{2} \in[/mm] X, dass [mm]x_{1}[/mm] - [mm]x_{2} \in[/mm] X, aber auch x*a [mm]\in[/mm] X
> für a [mm]\in[/mm] R. Nun ist X aber auch eine Teilmenge von R, d.h.
> sowohl x als auch a haben die Eigenschaft, dass [mm]v_{p}(a)[/mm]
> und [mm]v_{p}(x) \le[/mm] 1 ist bzw. [mm]p^{-w_{p}(a)}[/mm] und [mm]p^{-w_{p}(a)} \le[/mm]
> 1. Wenn mann sich nun das Produkt von x und a anschaut,
> dann liegt das ja auf jeden Fall in X (da Ideal) und es
> gilt:
>
> [mm]p^{-w_{p}(a*x)}[/mm] = [mm]p^{-(w_{p}(a)+ w_{p}(x))}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{p^{w_{p}(a)+ w_{p}(x)}}.[/mm]
>
> Nun habe ich mir folgendes gedacht. Die
> Vielfachheitsfunktion liefert mir ja Werte in [mm]\IZ,[/mm] d.h.
> wenn a* = [mm]w_{p}(a)[/mm] und x* = [mm]w_{p}(x),[/mm] dann haben a* und x*
> ja einen ggt d, der eindeutig ist und für den gilt, dass
> sa* + rx* = d. Ich würde jetzt einfach k = d setzen und
> damit wäre die Behauptung ja gezeigt. Ich glaube aber, dass
> mir noch etwas in meiner Argumentation fehlt oder ist die
> Idee Blödsinn?
Bei deinem Ansatz würde doch das k von a und x abhängen, es soll aber eine Invariante des Ideals sein (ist es auch). Nimm doch mal ein beliebiges x [mm] \not= [/mm] 0 und a = 1. Was immer da als k herauskommt, bei px und a = 1 ergibt sich ein anderes k.
Versuch es mal mit k = min [mm] v_{p}(x).
[/mm]
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Hallo,
das Beseitigen meiner Beweisidee ist mir klar. Unklar ist für mich der Tip k = min [mm] v_{p}(x). [/mm] Meinst du tatsächlich min [mm] v_{p}(x) [/mm] und nicht min [mm] w_{p}(x)? [/mm] Im ersten Fall würde doch für die a [mm] \in I_{k} [/mm] gelten [mm] v_{p}(a) \le (\bruch{1}{p})^{ min v_{p}(x) } [/mm] = [mm] (\bruch{1}{p})^{ p^{w_{p}(x) }} [/mm] für das entsprechende x, oder habe ich jetzt einen Knoten im Hirn?
Unabhängig davon würde ich dann weiter so vorgehen, dass sich dann zeige (1) [mm] I_{k} \subset [/mm] X und (2) X [mm] \subset I_{k}, [/mm] so dass X = [mm] I_{k}?
[/mm]
Grüße, Steffen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:59 Mi 30.04.2008 | | Autor: | statler |
Auch hallo!
> das Beseitigen meiner Beweisidee ist mir klar. Unklar ist
> für mich der Tip k = min [mm]v_{p}(x).[/mm] Meinst du tatsächlich
> min [mm]v_{p}(x)[/mm] und nicht min [mm]w_{p}(x)?[/mm]
Mein Fehler hat historische Gründe! Was du [mm] w_{p} [/mm] nennst, heißt bei mir traditionsgemäß [mm] v_{p}, [/mm] und was du [mm] v_{p} [/mm] nennst, heißt bei mir | [mm] |_{p}. [/mm] Ok, faule Ausrede, aber man wird leider mit zunehmendem Alter immer unflexibler.
Kommst du mit dem Beweis ansonsten klar?
Gruß
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:07 Mi 30.04.2008 | | Autor: | steffenhst |
Hallo Statler,
ja, jetzt komm ich klar. Vielen Dank.
Grüße, Steffen
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