Ring ist nullteilerfrei < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:36 Sa 27.10.2007 | | Autor: | kiri111 |
| Aufgabe | Eine reelle Polynomfunktion sei eine Funktion f: [mm] \IR \to \IR, [/mm] für die es Zahlen [mm] a_{0},...,a_{n} \in \IR [/mm] gibt mit [mm] f(t)=a_{n}*t^{n}+...+a_{0} [/mm] für alle t [mm] \in \IR.
[/mm]
Mit R bezeichnen wir die Menge aller reellen Polynomfunktionen.
Die Verknüpfung der Addition und die der Mulitplikation seien wie folgt definiert:
(f+g)(t):=f(t)+g(t) und (f*g)(t):=f(t)*g(t) mit f, g [mm] \in [/mm] R und t [mm] \in \IR [/mm] .
Zeigen Sie, dass der Ring R nullteilerfrei ist. |
Hallo,
ich habe schon nachgewiesen, dass es sich um einen kommutativen Ring handelt. Es fehlt nur noch der Nachweis, dass der Ring nullteilerfrei ist.
Wie gehe ich da am besten vor?
Danke!
Grüße kiri
P.S.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hiho,
was heisst es denn, dass ein Ring nullteilerfrei ist?
Was ist die Null in diesem Ring?
Was musst du also zeigen?
Als Tip: Polynome vergleicht man am besten über einen Koeffizientenvergleich 
MfG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:27 Sa 27.10.2007 | | Autor: | kiri111 |
Hallo,
also das Nullelement in dem Ring ist das Nullpolynom, also anders ausgedrückt: Die Null.
Nullteilerfrei heißt ja für einen Ring (wo a und b Elemente des Ringes sind), dass für ab=0 gilt: a=0 oder b=0.
Und dort zeigt man die Nullteilerfreiheit ja, indem man sagt a sei ungleich 0 und man mutipliziert dann ab=0 mit dem Inversen von a, also [mm] a^{-1} [/mm] und erhält dann [mm] a*a^{-1}*b=0*a^{-1} [/mm] und daraus entsprechend b=0. Und analog wenn b ungleich 0 ist.
Also bedeutet das doch für die Aufgabe:
f(t)*g(t)=0 Wenn ich jetzt voraussetze, dass f(t) ungleich 0 ist, müsste ich die Gleichung mit dem multiplikativen Inversen von g(t) multiplizieren, aber was ist das Inverse zu g(t)?
Hilft mir bitte noch ein wenig mehr auf die Sprünge. :) Danke!
Grüße kiri
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Hiho,
naja, bis auf die Tatsache, dass du auf deinem Weg mit den multiplikativ Inversen von f(t) multiplizieren müsstest, stimmen deine Überlegungen, sofern der Ring multiplikativ Inverse besitzt.
Dies ist im Allgemeinen und in diesem Fall hier aber nicht der Fall
Ein anderer Weg zu zeigen, dass der Ring nullteilerfrei ist, ist folgender:
Seien f,g ungleich Null, z.z. f*g ungleich Null.
Überlege dir dafür, wie f*g allgemein Aussieht, wenn f und g Elemente aus dem Ring sind. Und dann zeige durch Koeffizientenvergleich, dass f*g eben NICHT dass Nullpolynom ist.
MfG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 Sa 27.10.2007 | | Autor: | kiri111 |
Hallo,
okay, das Prinzip ist völlig klar, aber wenn ich diese Polynome multipliziere erhalte ich ja undurchsichtige Terme... Kann man das irgendwie mit Hilfe der Cauchy-Produktformel bewerkstelligen? Aber wie zeigt man dann durch Koeffizientenvergleich, dass f(t)*g(t) nicht 0 werden kann?
Grüße kiri
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> Hallo,
> okay, das Prinzip ist völlig klar, aber wenn ich diese
> Polynome multipliziere erhalte ich ja undurchsichtige
> Terme...
So undurchsichtig sind sie gar nicht 
> Kann man das irgendwie mit Hilfe der
> Cauchy-Produktformel bewerkstelligen?
Als Erinnerung: [mm](\summe_{i=0}^{n} a_ix^i)*(\summe_{k=0}^{m} b_kx^k) = \summe_{i=0}^{n+m}(\summe_{k=0}^{i} a_kb_{i-k})x^i[/mm]
>Aber wie zeigt man
> dann durch Koeffizientenvergleich, dass f(t)*g(t) nicht 0
> werden kann?
Nunja, was müsste denn gelten nach Koeffizientenvergleich, wenn f*g = 0 sein soll?
MfG,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:23 Sa 27.10.2007 | | Autor: | kiri111 |
Hallo,
naja, wenn f*g=0 wäre, dann müssten alle Koeffizienten von f*g 0 sein...
Ich stehe auf dem Schlauch... *g*
Grüße kiri
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> Hallo,
> naja, wenn f*g=0 wäre, dann müssten alle Koeffizienten von
> f*g 0 sein...
Genau, was sind denn die Koeffizienten von f*g, wenn man in die Formel reinguckt?
Als nächstes schreibst du die Koeffizienten mal aus, dann fällt dir was auf.
> Ich stehe auf dem Schlauch... *g*
Das kriegen wir schon hin.... geht ja Schritt für Schritt voran
> Grüße kiri
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:34 Sa 27.10.2007 | | Autor: | kiri111 |
Hallo,
die Koeffizienten sind doch [mm] \summe_{k=0}^{i} a_kb_{i-k} [/mm] oder?
Sagen wir mal i=3, also [mm] \summe_{k=0}^{3} a_kb_{3-k}. [/mm] Dann gilt doch, wenn ich die Koeffizienten ausschreibe:
[mm] a_0b_3 [/mm] + [mm] a_1b_2 [/mm] + [mm] a_2b_1 [/mm] + [mm] a_3b_3 [/mm]
Ist das soweit richtig?
Grüße kiri
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> Hallo,
> die Koeffizienten sind doch [mm]\summe_{k=0}^{i} a_kb_{i-k}[/mm]
> oder?
Genau
> Sagen wir mal i=3, also [mm]\summe_{k=0}^{3} a_kb_{3-k}.[/mm] Dann
> gilt doch, wenn ich die Koeffizienten ausschreibe:
>
> [mm]a_0b_3[/mm] + [mm]a_1b_2[/mm] + [mm]a_2b_1[/mm] + [mm]a_3b_3[/mm]
> Ist das soweit richtig?
Ja, genau.
So, was soll für die Koeffizienten gelten?
Schreibe dir die ersten Koeffizienten mal auf, was fällt dir auf?
MfG,
Gono.
>
> Grüße kiri
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:02 Sa 27.10.2007 | | Autor: | kiri111 |
Hallo,
okay. Nehmen wir mal wieder unser Beispielpolynom mit den vier Koeffizienten:
[mm] a_0b_3 [/mm] , a_1b2, [mm] a_2b_1, a_3b_3 [/mm] .
Dann müsste ja folgendes gelten, wenn man für f*g das Nullpolynom erhalten will:
[mm] a_0b_3=0 [/mm] (1)
[mm] a_1b_2=0 [/mm] (2)
[mm] a_2b_1=0 [/mm] (3)
[mm] a_3b_3=0 [/mm] (4)
Also müsste ja zum Beispiel bei (1) [mm] a_0=0 [/mm] oder [mm] b_3=0, [/mm] ebenso bei (2) [mm] a_1=0 [/mm] oder [mm] b_2=0 [/mm] usw. Wenn das aber der Fall ist, würden ja Teile der Polynome f und g wegfallen, was nicht sein kann....
Hmmm, ist das so richtig begründet!?
Grüße kiri
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Guut,
so schlecht ist das gar nicht, aber du hast die Hälfte vergessen, denn du bekommst mehr als die 4 Gleichungen da raus. Warum?
Du hast ja angenommen, wir haben jeweils 4 Koeffizienten, also [mm] a_0,...,a_3 [/mm] und [mm] b_0,...,b_3
[/mm]
Jetzt betrachten wir mal die Koeffizienten des Produktes. Diese sehen ja wie folgt aus:
[mm] \summe_{k=0}^{i}a_kb_{i-k} [/mm]
Aber beachte, dass i selbst ja von 0 bis 6 läuft!
d.h. wir bekommen folgende Koeffizienten, die alle 0 sein müssen:
[mm]i = 0: a_0b_0 = 0
i=1: a_0b_1 + a_1b_0 = 0
i=2: a_0b_2 + a_1b_1 + a_2b_0 = 0
i=3: a_0b_3 + a_1b_2 + a_2b_1 + a_3b_0 = 0
i=4: a_1b_3 + a_2b_2 + a_3b_1 = 0
i=5: a_2b_3 + a_3b_2 + a_2b_3 = 0
i=6: a_3b_3 = 0[/mm]
Wie du vorhin schon festgestellt hast, muss aufgrund der ersten Gleichung gelten: [mm] a_0=0 [/mm] oder [mm] b_0=0
[/mm]
Sei im ersten Fall also [mm] a_0 [/mm] = 0 und [mm] b_0 \not= [/mm] 0
Dann gilt:
[mm]i = 0: a_0b_0 = 0
i=1: a_1b_0 = 0
i=2: a_1b_1 + a_2b_0 = 0
i=3: a_1b_2 + a_2b_1 + a_3b_0 = 0
i=4: a_1b_3 + a_2b_2 + a_3b_1 = 0
i=5: a_2b_3 + a_3b_2 + a_2b_3 = 0
i=6: a_3b_3 = 0[/mm]
Wenn du dir die zweite Gleichung jetzt anguckst, steht da:
[mm]a_1b_0 = 0[/mm]
Da [mm]b_0 \not= 0[/mm] gilt, muss somit [mm]a_1 = 0[/mm] gelten usw.....
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[mm]a_0 = a_1 = a_2 = a_3 = 0[/mm]
Also gilt was?
Beispiel verstanden?
MfG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:42 Sa 27.10.2007 | | Autor: | kiri111 |
Hallo,
okay.
Damit wäre f ein Nullpolynom und das widerspricht unserer Annahme, dass f ung g ungleich 0 sind.
Also kann f*g nicht 0 ergeben, wenn f und g vom Nullpolynom verschiedene Polynome sind. Damit gilt also f*g ungleich 0 und folglich ist der Ring nullteilerfrei. Korrekt?
Grüße kiri
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:31 So 28.10.2007 | | Autor: | kiri111 |
Hallo,
da es etwas eilt, wollte ich nochmal nachfragen, ob meine Schlussweise richtig war?
Grüße kiri
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Entschuldige, dass ich jetzt erst schreibe
Deine Schlussweise ist korrekt, allerdings müsstest du es noch allgemein Begründen, oben das ist ja nur ein Beispiel.
MfG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:22 Di 30.10.2007 | | Autor: | kiri111 |
Hallo,
okay. Ich habe es jetzt hin bekommen. Ich danke dir vielmals!
Grüße kiri
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