Ring der Gaußschen Zahlen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:40 Mo 30.05.2005 | | Autor: | Peti |
Hallo!
Ich möchte die invertierbaren Elemente des Gaußschen Zahlenrings Z[i]=
{ a [mm] \pm [/mm] bi; a,b sind Element Z}, [mm] i^{2}=-1, [/mm] also [mm] Z[i]^{x}
[/mm]
Wie geht das genau?
vielen Dank und liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:51 Di 31.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Peti!
Ist $a+ib [mm] \in \IZ[i]$ [/mm] invertierbar, dann gibt es ein $c+id [mm] \in \IZ[i]$ [/mm] mit
$(a+ib) [mm] \cdot [/mm] (c+id)=1$.
In [mm] $\IZ[i]$ [/mm] ist durch:
$N(a+ib) = (a+ib) [mm] \cdot \overline{(a+ib)} [/mm] = (a+ib) [mm] \cdot [/mm] (a-ib) = [mm] a^2+b^2$
[/mm]
eine (multiplikative, sogenannte) Norm definiert (ist nicht mit einer Norm auf einem Vektorraum zu verwechseln), mit $N(1)=1$.
Daraus folgt:
$1=N(1) = N((a+ib) [mm] \cdot [/mm] (c+id)) = N(a+ib) [mm] \cdot [/mm] N(c+id) = [mm] (a^2+b^2) \cdot (c^2+d^2)$.
[/mm]
Daraus folgt wegen [mm] $a^2+b^2 \ge [/mm] 0$:
[mm] $a^2+b^2=1$ [/mm] mit $a,b [mm] \in \IZ$.
[/mm]
Offenbar hat diese Gleichung nur vier Lösungen in [mm] $\IZ \times \IZ$. [/mm] Frage an dich: Welche?
Welche vier Gaußschen Zahlen sind also Einheiten (invertierbar)?
Versuche es bitte mal... 
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:32 Di 31.05.2005 | | Autor: | Peti |
Hallo!
[mm] a^{2} +b^{2}=1 [/mm] hat vier Lösungen, die sind: (0,1), (0,-1), (1,0), (-1,0).
Die vier Gaußschen Zahlen, die invertoerbar sind, sind also:
[mm] Z[i]^{x}={0+i; 0-i; 1+0i; -1+0i}
[/mm]
Stimmt das so?
Vielen Dank für deine Hilfe, komm so echt weiter!
viele Grüße P
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:08 Di 31.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Peti!
Alles richtig! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Viele Grüße
Julius
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