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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:28 Fr 19.10.2007 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | Man berechne folgende Integrale mit Hilfe von Treppenfunktionen.
(a)...........................................
[mm] (b)\integral_{1}^{a}{1/x dx} [/mm] (a>1)
Hinweis:Man wähle für n [mm] \in \IN [/mm] folgende Unterteilung: [mm] x_{i}:= a^{\bruch{i}{n}}, [/mm] i=0,...,n.
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Hallo,
ich habe so angefangen zu lösen:
[mm] \integral_{1}^{a}{1/x dx} [/mm] (a>1)= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{a^{ \bruch{i-1}{n}}} [/mm] ( [mm] a^{\bruch{i}{n}} [/mm] - [mm] a^{\bruch{i-1}{n}} [/mm] )
Stimmt es? Wenn es stimmt, dann muss man noch den Ausdruck umformen, damit log(a) als Ergebnis rauskommt.
Schöne Grüße
Igor
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> Man berechne folgende Integrale mit Hilfe von
> Treppenfunktionen.
> [mm](b)\integral_{1}^{a}{1/x dx}[/mm] (a>1)
>
> Hinweis:Man wähle für n [mm]\in \IN[/mm] folgende Unterteilung:
> [mm]x_{i}:= a^{\bruch{i}{n}},[/mm] i=0,...,n.
>
>
>
> Hallo,
>
> ich habe so angefangen zu lösen:
>
> [mm]\integral_{1}^{a}{1/x dx}[/mm] (a>1)=
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{a^{ \bruch{i-1}{n}}}[/mm]
> ( [mm]a^{\bruch{i}{n}}[/mm] - [mm]a^{\bruch{i-1}{n}}[/mm] )
>
>
> Stimmt es?
Hallo,
ich konnte bis hierher gut folgen.
Schaust Du Dir den Term hinter der Summe an, so stellst Du (hoffentlich) fest, daß man das schreiben kann als
[mm] ...\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=1}^{n}( a^{ \bruch{1}{n}}-1)
[/mm]
Nun berechne diese Summe und bilde den Grenzwert. Hierfür kannst Du l'Hospital gebrauchen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:01 Fr 19.10.2007 | | Autor: | Igor1 |
Hallo Angela,
also das Ergebnis der Summe ist [mm] n*a^{\bruch{1}{n}}-n.
[/mm]
Jetzt ist die Frage , wie man hier l´Hospital benutzt, denn ich kenne das nur , wenn der Term von x abhängt. Und was ist die Ableitung von [mm] a^{\bruch{1}{n}} [/mm] ?
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> also das Ergebnis der Summe ist [mm]n*a^{\bruch{1}{n}}-n.[/mm]
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> Jetzt ist die Frage , wie man hier l´Hospital benutzt, denn
> ich kenne das nur , wenn der Term von x abhängt. Und was
> ist die Ableitung von [mm]a^{\bruch{1}{n}}[/mm] ?
Hallo,
Namen sind Schall und Rauch.
Ob man [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(n) [/mm] betrachtet oder [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f(x), [/mm] das ist doch wirklich egal.
Wenn es Dir mit x leichter fällt, könntest Du ja auch umtaufen.
Zu berechnen ist jetzt also [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(n*a^{\bruch{1}{n}}-n)=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a^{\bruch{1}{n}}-1}{\bruch{1}{n}}.
[/mm]
Wenn Du nun l'Hospital verwendest, mußt Du nach n differenzieren.
Zur Ableitung von [mm] g(n)=a^{\bruch{1}{n}}:
[/mm]
Es ist ja [mm] a^{\bruch{1}{n}}=e^{\bruch{lna}{n}}. [/mm] Nun sollte das kein Problem mehr sein.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:12 Fr 19.10.2007 | | Autor: | Igor1 |
Die Vorgehensweise ist klar. Ich habe ein kleines Bedenken im Bezug auf die Voraussetzungen der Regeln von l´Hospital. In den Voraussetzungen steht: ...... zwei differenzierbare Funktionen auf dem Intervall I=]a,b[ . Bei uns handelt es sich um n [mm] \in \IN...
[/mm]
Ist das ausschlaggebend?
Gruß
Igor
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> Die Vorgehensweise ist klar. Ich habe ein kleines Bedenken
> im Bezug auf die Voraussetzungen der Regeln von l´Hospital.
> In den Voraussetzungen steht: ...... zwei differenzierbare
> Funktionen auf dem Intervall I=]a,b[ .
Hallo,
das muß Dir keine Sorgen machen. Normalerweise wird der L'Hospital auch für [mm] b=\infty [/mm] bewiesen in einem Unterpunkt.
Und die beiden Funktionen, die wir zu betrachten haben, sind ja diffbar auf [mm] ]0,\infty[.
[/mm]
> Bei uns handelt
> es sich um n [mm]\in \IN...[/mm]
>
> Ist das ausschlaggebend?
Nein. Ausschlaggebend.
Wenn wir zeigen, daß [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{f(x)}{g(x)} [/mm] gegen lna geht, geht natürlich die Folge [mm] \bruch{f(n)}{g(n)} [/mm] gegen unendlich.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:38 Fr 19.10.2007 | | Autor: | Igor1 |
Ja, b kann auch gleich unendlich sein , das stimmt, steht dort auch. Wie kann man zeigen, dass man auch ohne solche Intervalle auskommen kann?
Oder der Beweis ist zu kompliziert?
Aber , in Ordnung, wenn es funktioniert, dann werde ich mir keine Sorgen machen. Ich glaube Dir 
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> Ja, b kann auch gleich unendlich sein , das stimmt, steht
> dort auch. Wie kann man zeigen, dass man auch ohne solche
> Intervalle auskommen kann?
Wir brauchen doch gar nicht ohne Intervalle auszukommen.
[mm] ]0,\infty[ [/mm] = [mm] \IR_+ist [/mm] ja eins.
Der Beweis zum l'Hospital steht z.B. ![[]](/images/popup.gif) hier.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:50 Fr 19.10.2007 | | Autor: | Igor1 |
Sind die Funktionen auch im Punkt [mm] \wurzel{2} [/mm] differenzierbar?
Wir können doch für n nur natürliche Zahlen einsetzen.
Die Funktionen sind doch gar nicht stetig.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:13 Fr 19.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn f(x) für x gegen [mm] \infty [/mm] gegen b konvergiert, dann auch für jede Teilfolge [mm] f(x_i) x_i [/mm] gegen unendlich, und eine Teilfolge ist [mm] x_i=i.
[/mm]
konvergenz heiss doch: zu jedem [mm] \varepsilon>0 [/mm] existiert ein [mm] X_0 [/mm] sodass für ALLE [mm] x>X_0 [/mm] gilt |f(x)-b|< [mm] \varepsilon [/mm]
insbesondere also auch für alle [mm] n>\X_0
[/mm]
und warum ist [mm] a^{1/x} [/mm] nicht stetig? (ausser bei x=0
1/x ist stetig, [mm] a^x [/mm] ist stetig, Komposition stetiger fkt ist stetig!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:15 Fr 19.10.2007 | | Autor: | Igor1 |
Es geht doch um n aus [mm] \IN [/mm] und nicht um x aus [mm] \IR.
[/mm]
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Hallo,
wenn es Dir gelingt zu zeigen, daß
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}h(x)=a [/mm] ist, die Funktion für [mm] x\to \infty [/mm] also konvergiert, dann konvergiert natürlich auch die Folge [mm] (h_n) [/mm] mit [mm] h_n:=h(n).
[/mm]
Das ist doch eine Eigenschaft des Grenzwertes von Funktionen.
Gruß v. Angela
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