Riemannsche Summe < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:41 Mo 22.06.2009 | | Autor: | physicus |
Hi zusammen
Ich hab folgendes Problem:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \produkt_{k=1}^{n} (1+(\bruch{k}{n})^2)^\bruch{k}{n^2}
[/mm]
Ich hab das ganze als Riemannsche Summe geschrieben, indem ich den Log davon gebildet habe, dann kommt folgendes raus:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{k=1}^{n} \log{((1+(\bruch{k}{n})^2)^\bruch{k}{n^2})} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{n}\bruch{k}{n}\log{(1+(\bruch{k}{n})^2)}
[/mm]
das ganze geht also in folgendes Integral über:
[mm] \integral{x \log{(1+x^2)} dx}
[/mm]
Mein Problem ist die Grenzen des Integrals zu bestimmen. Es sollte von 0 bis 1 integriert werden. Aber wieso? Wenn ich in der Riemannsche Summe die Grenzen betrachte also k=1 resp. k=n bekomme ich nicht 0 und 1. Danke für die Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:47 Mo 22.06.2009 | | Autor: | moudi |
Hallo physicus
Teile doch das Intervall [0,1] in n Teilintervalle und bilde die Funktionswerte f(k/n) fuer k=1 bis k=n fuer die Funktion [mm] $f(x)=x\log(1+x^2)$. [/mm] Was erhaelst du dann?
mfG Moudi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:00 Mo 22.06.2009 | | Autor: | physicus |
> Hallo physicus
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> Teile doch das Intervall [0,1] in n Teilintervalle und
> bilde die Funktionswerte f(k/n) fuer k=1 bis k=n fuer die
> Funktion [mm]f(x)=x\log(1+x^2)[/mm]. Was erhaelst du dann?
>
> mfG Moudi
hm...
ich glaub ich verstah nicht ganz was du meinst. Für k = 1 hab ich f(1/n), wenn ich das nun in [mm] x\log(1+x^2) [/mm] einsetze kommt da doch nie 0 heraus. Wenn ich k=n habe, also f(1) bekomme ich die grenze [mm] 1\log(2). [/mm] was auch nicht 1 entspricht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:23 Mo 22.06.2009 | | Autor: | fred97 |
$ [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{n}\bruch{k}{n}\log{(1+(\bruch{k}{n})^2)} [/mm] $
ist eine Riemannsumme bezüglich der Zerlegung
Z = {0, 1/n, 2/n, ...., n/n }
des Intervalls [0,1]
FRED
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