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Forum "Integration" - Riemannsche Summe
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Riemannsche Summe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:19 Di 28.04.2009
Autor: matt101

Aufgabe
Es sei f:[a,b] [mm] \to \IR [/mm] gegeben. Zu jedem n definieren wir M(f;n) als arithmetisches Mittel von
f(a+h),f(a+2h),....., f(a+nh) = f(b)
wobei [mm] h=\bruch{b-a}{n} [/mm]
D.h.    M(f;n) = [mm] \bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} [/mm] f(a+ih)
Man zeige, dass  
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] M(f;n) = [mm] \bruch{1}{b-a} \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm]
                            

Mein Versuch:

Zuerst habe ich eine fkt g(x) def s.d.
     g: [a,b] [mm] \to \IR [/mm]
          x [mm] \mapsto [/mm] f(a+xh)

Dann habe ich eine Unterteilung P: [mm] \bruch{1}{n},\bruch{2}{n},....., \bruch{n}{n} [/mm] = 1 und die zugehoerige Riemannsche Summe:

[mm] g(\bruch{1}{n}) \bruch{1}{n} [/mm] + [mm] g(\bruch{2}{n}) \bruch{1}{n} [/mm] + ..  + g(1) [mm] \bruch{1}{n} [/mm]
= f(a+h) [mm] \bruch{1}{n} [/mm] + f(a+2h) [mm] \bruch{1}{n} [/mm] + ...   + f(b) [mm] \bruch{1}{n} [/mm]
[mm] =\bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} [/mm] f(a+ih)

Dann waere die Loesung aber:
   [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] M(f;n) = [mm] \integral_{a}^{b}{g(x) dx} [/mm]

Ich denke ich muss irgendwie f(x) definieren statt g(x).

Hat jemand eine Idee??

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Riemannsche Summe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:24 Di 28.04.2009
Autor: leduart

Hallo matt
Die fkt die du da definiert hast ist nicht sehr sinnvoll.
nimm direkt f(x) schreib das Integral als lim der Riemanssume mit der Unterteilung (b-a)/n dann steht die Beh. schon da, wenn du (b-a) aus der Summe ziehst.
gruss leduart


Bezug
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