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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:18 So 10.02.2008 | | Autor: | chipbit |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Integrale
[mm] \int_{0}^{1}~x^2~dx [/mm] und [mm] \int_{0}^{1}~e^x~dx [/mm] direkt mit Hilfe Riemannscher Summen, d.h. unterteilen Sie das Intervall [0,1] in die n-regelmäßigen Teilintervalle [0,1/n],[1/n,2/n],...,[n-1/n,n], brechnen Sie die Integrale der dazugehörigen approximierenden Treppenfunktion un dbilden Sie den Limes n [mm] \to \infty. [/mm] |
Hallo,
ich muss obige Aufgabe lösen. Dazu habe ich erstmal die Frage, ob man dazu auch die Ober- und Untersumme braucht. Oder ob es reicht die "Riemann-Summe" [mm] \sum_{}^{}~(f, [/mm] Z, [mm] \xi)~ [/mm] := [mm] \sum_{k=1}^n~f(\xi_k)\cdot (x_k-x_{k-1}) [/mm] zu verwenden.
So, obwohl im Grunde in der Aufgabe ja schon steht was man machen soll, stehe ich irgendwie nen bisserl aufm Schlauch.
Zu [mm] \int_{0}^{1}~x^2~dx [/mm] habe ich etwas in einem Buch gefunden was ganz gut aussieht. Nur ist es in dem Buch ehe allgemeiner gehalten. Dort nehmen die Teilintervalle der Länge [mm] \bruch{b}{n} [/mm] und als "Zwischenpunkte" [mm] \xi_k:=x_k. [/mm] Das verstehe ich nicht ganz. Ich meine die Teilintervalle sind ja im Grunde nichts anderes wie in der Aufgabe, nur allgemeiner, aber warum [mm] x_k? [/mm] Ist vielleicht schwer für euch, ohne das Buch das nachzuvollziehen, aber vielleicht kann mir doch wer dabei helfen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:38 So 10.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. für [mm] x^2 [/mm] ist es einfach. wenn du statt einem Wert [mm] f(\xi_k) [/mm] im Intervall zwischen k-1 und k nimmst kannst du für [mm] \xi_k [/mm] einen beliebigen Wert nehmen, also auch den Anfang des Intervlls oder das Ende. Wenn du wie im Buch das Ende nimmst hast du die sog. Obersumme.
die "richtigen" [mm] \xi [/mm] die genau das Integral (ohne Grenzwertbildung) liefern, kannst du ja sowieso nicht finden.
bei der Summierung für die [mm] x^2 [/mm] Funktion musst du die Formel für die Summe über [mm] k^3 [/mm] nachschlagen.
bei der Summierung über die e-fkt denk dran [mm] e^{k/n}=(e^{1/n})^k
[/mm]
Und jetzt schreib die Summen einfach mal auf, zieh aber [mm] x_k-x_{k-1}=1/n [/mm] aus der Summe raus, dann wirds übersichtlicher.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:58 So 10.02.2008 | | Autor: | chipbit |
Also für [mm] x^2 [/mm] habe ich nun für die n-te Summe [mm] \sum_{}^{}(f,Z_n,\xi^{(n)})=\bruch{1}{n^3}\cdot \sum_{k=1}^{n}~k^2~ [/mm] . Für [mm] e^x [/mm] habe ich [mm] \sum_{}^{}(f,Z,\xi)=\sum_{k=1}^{n}~(e^{1/n})^k\cdot (x_k-x_{k-1})=\bruch{1}{n}\cdot \sum_{k=1}^{n}~(e^{1/n})^k, [/mm] mmmmmhhh stimmt das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:04 So 10.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
richtig, nur das [mm] \sum_{}^{}(f,Z_n,\xi^{(n)}) [/mm] lies ich weg, weil du ja was spezielleres machst.
2. Summe geom. Summe.
1.Summe in Formelsammlung nachsehen. (wenn ihr sowas müsst die Formel durch vollst induktion beweisen)
Gruss leduart
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