Riemannsche Dichte von X+a < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:48 Mi 14.02.2018 | | Autor: | Jellal |
Hallo,
ein eigentlich einfacher Beweis, der mich verwirrt.
Gegeben sei die Verteilungsfunktion F und die Riemannsche Dichte f(u) der stetigen Zufallsvariablen X.
Zu zeigen: X+a mit a reell hat eine Verteilungsfunktion x-->F(x-a) und eine Riemannsche Dichte u-->f(u-a).
Nun ist ja [mm] F^{X+a}(k)=F(k-a) [/mm] wegen X+a=k [mm] \gdw [/mm] X=k-a.
Der erste Teil ist also schon erledigt.
Die Gleichheit will ich für den zweiten Teil benutzen:
Es ist [mm] F^{X+a}(k)=\integral_{-\infty}^{k}{g(u) du}=\integral_{-\infty}^{k-a}{f(v) dv}=\integral_{-\infty}^{k}{f(v+a) dv} [/mm]
Im letzten Schritt wurde nur substituiert.
Die Gleichheit ist erfüllt wenn zB. g(u)=f(v+a) ist
Aber wie komm ich jetzt auf g(u)=f(u-a)?
Stehe auf dem Schlauch, war ein langer Tag ~~
Beste Grüße
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Hiho,
Tipp:
Die Dichte ist die Ableitung der Verteilungsfunktion,d.h. es gilt:
$g(k) = [mm] \left( F^{X+a}(k)\right)'=F'(k-a)$
[/mm]
edit: Und wenn du es auf deinem Weg machen willst, musst du im letzten Schritt nur korrekt substituieren.
Es ist nämlich:
$ [mm] F^{X+a}(k)=\integral_{-\infty}^{k}{g(v) dv}=\integral_{-\infty}^{k-a}{f(v) dv}=\integral_{-\infty}^{k}{f(v-a) dv} [/mm] $
Und man sieht sofort: $g(v) = f(v-a)$
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:32 Mi 14.02.2018 | | Autor: | Jellal |
Hallo Gono,
ich sehe die Substitution nicht :(
Das v im rechten Term ist doch nicht das gleiche v wie im linken Term?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:36 Mi 14.02.2018 | | Autor: | Jellal |
Ah, ich habs es. Hatte mich bei der neuen Obergrenze immer vertan.
Danke für deine Hilfe!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 Mi 14.02.2018 | | Autor: | Jellal |
Ok, doch noch eine Frage zu einer weiteren Aufgabe.
Nun soll die Verteilungsfuntkion und die Dichte von -tX bestimmt werden. In der vorigen Aufgabe war t>0. Ich wollte jetzt einfach die vorige Aufgabe anwenden, also hat (-1) jetzt die Rolle des t in der vorigen Aufgabe.
Aber wenn ich das mache, komme ich nicht auf das richtige Ergebnis. Ich sehe keinen Grund, warum das obige Vorgehen nicht für t<0 funktionieren sollte?
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Hiho,
du musst beachten, dass sich bei der Definition der Verteilungsfunktion für $t<0$ das Relationszeichen umkehrt und du daher ohne weitere Schritte keine Verteilungsfunktion mehr hast.
Es ist: [mm] $F^{tX}(k) [/mm] = P(tX [mm] \le [/mm] k)$, für $t > 0$ erhalten wir einfach:
[mm] $F^{tX}(k) [/mm] = P(tX [mm] \le [/mm] k) = [mm] P\left(X \le \frac{k}{t}\right) [/mm] = [mm] F^X\left(\frac{k}{t}\right)$
[/mm]
Für $t < 0$ erhalten wir jedoch:
[mm] $F^{tX}(k) [/mm] = P(tX [mm] \le [/mm] k) = [mm] P\left(X \ge \frac{k}{t}\right)$
[/mm]
Und letzteres ist nun keine Verteilungsfunktion mehr.
Das lässt sich allerdings beheben… siehst du wie?
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:14 Sa 24.02.2018 | | Autor: | Jellal |
Hallo Gono,
vielen Dank für die Antwort, leider habe ich beim Lernen meinen Thread vergessen, tut mir Leid!
Ich sehe das Problem.
Ja, man konnte einfach 1-F(k/t) schreiben, nicht wahr?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:33 Sa 24.02.2018 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Ja, man konnte einfach 1-F(k/t) schreiben, nicht wahr?
in deinem Fall ja.
Mach dir aber noch klar, dass dafür die Stetigkeit von X notwendig ist!
Gruß,
Gono
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