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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:27 Di 29.04.2014 | | Autor: | Ymaoh |
| Aufgabe | Begründen Sie, dass folgende Funktionen auf ihrem Def. Bereich Riemann-Integrierbar sind und bestimmen Sie den Wert des Integrals mit Riemannschen Summen.
[mm] f:[0,1]\to\IR:f(x)=\begin{cases}\bruch{1}{2^{i(x)}}, & \mbox{für } x \not=1\mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } x=1 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2^{i(x)}} [/mm] fuer x [mm] \not= [/mm] 1
0 für x = 1
(Ich weiß nicht, wieso das oben nicht funktioniert o.o )
Wo i(x)= max{n [mm] \in [/mm] N | x [mm] \ge 1-\bruch{1}{2^n}} [/mm] für x [mm] \in [/mm] [0,1[ |
Ich denke, die Funktion ist integrierbar, denn 1/(2^(i(x))) geht ja gegen Null,
dass heißt die Funktion ist beschränkt.
Ich weiß aber nicht, wie ich bei der Riemannsumme hier vorgehen soll, weil in der eigentlichen Funktion ja eine zweite steckt....?
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Ich finde die Funktionsvorschrift unnötig kompliziert aufgeschrieben.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:25 Mi 30.04.2014 | | Autor: | Ymaoh |
Das stimmt, deswegen weiß ich ja auch nicht, wie ich hier die Riemann-Summen bilden soll.... o.o
Das Bild hilft mir da leider auch nicht weiter, skizziert hab ich mir die Funktion ja schon...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:39 Mi 30.04.2014 | | Autor: | fred97 |
> Das stimmt, deswegen weiß ich ja auch nicht, wie ich hier
> die Riemann-Summen bilden soll.... o.o
> Das Bild hilft mir da leider auch nicht weiter, skizziert
> hab ich mir die Funktion ja schon...
Ohne Riemannsummen: monotone Funktionen sind Riemann-integrierbar
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:05 Mi 30.04.2014 | | Autor: | Ymaoh |
Ja, aber ich soll ja die Riemann Summe dazu berechnen....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:13 Do 01.05.2014 | | Autor: | Ymaoh |
Niemand eine Idee?
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Berechne die Fläche unter dem Graphen. Das sind ja lauter Rechtecke. Und das Ganze läuft auf eine geometrische Reihe hinaus.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 Sa 03.05.2014 | | Autor: | Ymaoh |
Die Riemannsumme selbst hab ich jetzt.
Allerdings ist mir aufgefallen, dass Beschränktheit allein natürlich nicht reicht, um Riemannintegrierbarkeit zu beweisen. Die Funktion hat ja unendlich viele Unstetigkeitsstellen. Das heißt, ich muss zeigen, das es abzählbar viele sind.
Die Stellen liegen ja genau bei:
[mm] 1-\bruch{1}{2^n}
[/mm]
Ich muss also zeigen, dass es von dieser Menge eine Bijektion auf die natürlichen Zahlen gibt. Aber wie gehe ich da genau vor?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:29 Sa 03.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Die Riemannsumme selbst hab ich jetzt.
> Allerdings ist mir aufgefallen, dass Beschränktheit
> allein natürlich nicht reicht, um Riemannintegrierbarkeit
> zu beweisen.
Ich hab doch gesagt: monotone Funktionen sind integrierbar.
FRED
> Die Funktion hat ja unendlich viele
> Unstetigkeitsstellen. Das heißt, ich muss zeigen, das es
> abzählbar viele sind.
> Die Stellen liegen ja genau bei:
>
> [mm]1-\bruch{1}{2^n}[/mm]
>
> Ich muss also zeigen, dass es von dieser Menge eine
> Bijektion auf die natürlichen Zahlen gibt. Aber wie gehe
> ich da genau vor?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:53 Sa 03.05.2014 | | Autor: | Ymaoh |
Und das gilt uneingeschränkt, trotz der unendlichen Unstetigkeitsstellen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:09 Sa 03.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Und das gilt uneingeschränkt, trotz der unendlichen
> Unstetigkeitsstellen?
Ja ! Monotone Funktionen sind Riemannintegrierbar. Glaubs mir, ich bins der
FRED
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:13 So 04.05.2014 | | Autor: | Ymaoh |
Ja, ich glaube ;)
Trotzdem habe ich eine weitere Frage zu dieser Aufgabe, ich hab nämlich ein falsches Ergebnis. Ich weiß auch woran es liegt, aber nicht genau, wie ich das richtige bekomme:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}(\bruch{1}{2})^{2n+1}
[/mm]
ist die endgültige Summe, die sollte stimmen. Das Ergebnis soll laut Tutor sein: 2/3.
Ich hatte 2 raus, weil ich einfach die Formel für die geometrische Reihe benutzt habe. Allerdings ist das hier ja gar nicht die geometrische Reihe, weil nur die ungeraden Exponenten vorkommen. Allerdings weiß ich nicht, wie ich jetzt auf den richtigen Wert komme....
Kann man eine Partialbruchzerlegung machen, auch wenn es keine Nullstellen gibt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:27 So 04.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ja, ich glaube ;)
> Trotzdem habe ich eine weitere Frage zu dieser Aufgabe,
> ich hab nämlich ein falsches Ergebnis. Ich weiß auch
> woran es liegt, aber nicht genau, wie ich das richtige
> bekomme:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(\bruch{1}{2})^{2n+1}[/mm]
>
> ist die endgültige Summe, die sollte stimmen. Das Ergebnis
> soll laut Tutor sein: 2/3.
> Ich hatte 2 raus, weil ich einfach die Formel für die
> geometrische Reihe benutzt habe. Allerdings ist das hier ja
> gar nicht die geometrische Reihe, weil nur die ungeraden
> Exponenten vorkommen. Allerdings weiß ich nicht, wie ich
> jetzt auf den richtigen Wert komme....
> Kann man eine Partialbruchzerlegung machen, auch wenn es
> keine Nullstellen gibt?
[mm]\summe_{n=0}^{\infty}(\bruch{1}{2})^{2n+1}[/mm]= [mm] \bruch{1}{2}\summe_{n=0}^{\infty}(\bruch{1}{4})^n
[/mm]
Jetzt Du.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 So 04.05.2014 | | Autor: | Ymaoh |
Jetzt ist das ja eine geometrische Reihe, und mit
[mm] \bruch{a_0}{1-q} [/mm] kommt für die Summe
[mm] \bruch{4}{3}, [/mm] also insgesamt [mm] \bruch{2}{3} [/mm] raus.
Aber ich verstehe deinen Schritt nicht, was hast du da gemacht, und wie?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:04 So 04.05.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Ymaoh,
> Jetzt ist das ja eine geometrische Reihe, und mit
>
> [mm]\bruch{a_0}{1-q}[/mm] kommt für die Summe
> [mm]\bruch{4}{3},[/mm] also insgesamt [mm]\bruch{2}{3}[/mm] raus.
Ja.
> Aber ich verstehe deinen Schritt nicht, was hast du da
> gemacht, und wie?
Potenzgesetze! Es gilt (kurz):
[mm] a^{l+r}=a^l*a^r
[/mm]
und
[mm] (a^l)^r=a^{l*r}.
[/mm]
Gruß
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:19 So 04.05.2014 | | Autor: | Ymaoh |
Oh man, Potenzgesetze.... o.o :)
Die sollte man wohl im Kopf haben, eigentlich :)
vielen Dank!
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