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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:55 Sa 24.01.2009 | | Autor: | MaRaQ |
| Aufgabe | | Berechnen Sie [mm] \integral_{a}^{b}{sin x dx} [/mm] mit Hilfe von Riemann'schen Summen! |
Für einfache Funktionen wie beispielsweise [mm] x^2 [/mm] oder [mm] x^3 [/mm] ist mir absolut klar, wie ich hier vorgehen muss.
Beim Sinus ist es aber eine Nummer schwerer. Da ist mein polynomialer Ansatz wirkungslos.
Nun denn, so weit habe ich mir das mal aufgeschrieben:
f(x) = sin x auf [a,b]. Wähle Zerlegung [mm] \zeta_n [/mm] := (a, [mm] a+\delta_n,a+2\delta_n,...,b) [/mm] mit [mm] \delta_n [/mm] := [mm] \bruch{b-a}{n}. [/mm]
Wähle als Zwischenpunkte [mm] \xi_i^{(n)} [/mm] := a + [mm] i\delta_n
[/mm]
( Sind Zerlegung und Zwischenpunkte so überhaupt geschickt gewählt? )
Dann [mm] ist\summe(f,\zeta_n,\xi^{(n)} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}(sin(a [/mm] + [mm] i\delta_n)\delta_n) [/mm] = [mm] \bruch{b-a}{n} \summe_{i=1}^{n}(sin(a [/mm] + [mm] i\delta_n))
[/mm]
Hier könnte ich jetzt das Additionstheorem anwenden sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b), das hilft mir aber in keiner Weise weiter.
Als Tipp habe ich erhalten, ich solle die Formel 2sinxsiny = cos(x-y)-cos(x+y) verwenden und sin(a + [mm] n\delta) [/mm] = [mm] (1/2sin(\delta/2))*2sin(a+n\delta)sin(\delta/2) [/mm] umschreiben.
Wenn ich jetzt den zweiten Tipp umsetze (und direkt danach den ersten):
[mm] \bruch{b-a}{n} \summe_{i=1}^{n}((sin(a [/mm] + [mm] i\delta_n)) [/mm] = [mm] \bruch{b-a}{n}\summe_{i=1}^{n} (\bruch{1}{2sin(\bruch{\delta}{2})})*2sin(a [/mm] + [mm] i\delta)sin(\bruch{\delta}{2})) [/mm]
= [mm] \bruch{b-a}{2nsin(\bruch{\delta}{2})}\summe_{i=1}^{n} [/mm] (cos(a + [mm] i\delta [/mm] - [mm] \bruch{\delta}{2}) [/mm] - cos(a + [mm] i\delta [/mm] + [mm] \bruch{\delta}{2}))
[/mm]
Nach meinem Verständnis der Riemann'schen Summe müsste ich jetzt die Summe noch auflösen und n gegen unendlich laufen lassen... das Ergebnis wäre dann mein gesuchtes Integral.
Nur wie?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:42 Di 27.01.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Berechnen Sie [mm]\integral_{a}^{b}{sin x dx}[/mm] mit Hilfe von
> Riemann'schen Summen!
> Für einfache Funktionen wie beispielsweise [mm]x^2[/mm] oder [mm]x^3[/mm]
> ist mir absolut klar, wie ich hier vorgehen muss.
> Beim Sinus ist es aber eine Nummer schwerer. Da ist mein
> polynomialer Ansatz wirkungslos.
>
> Nun denn, so weit habe ich mir das mal aufgeschrieben:
>
> f(x) = sin x auf [a,b]. Wähle Zerlegung [mm]\zeta_n[/mm] := (a,
> [mm]a+\delta_n,a+2\delta_n,...,b)[/mm] mit [mm]\delta_n[/mm] :=
> [mm]\bruch{b-a}{n}.[/mm]
> Wähle als Zwischenpunkte [mm]\xi_i^{(n)}[/mm] := a + [mm]i\delta_n[/mm]
>
> ( Sind Zerlegung und Zwischenpunkte so überhaupt geschickt
> gewählt? )
>
> Dann [mm]ist\summe(f,\zeta_n,\xi^{(n)}[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{n}(sin(a[/mm]
> + [mm]i\delta_n)\delta_n)[/mm] = [mm]\bruch{b-a}{n} \summe_{i=1}^{n}(sin(a[/mm]
> + [mm]i\delta_n))[/mm]
>
> Hier könnte ich jetzt das Additionstheorem anwenden
> sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b), das hilft mir aber
> in keiner Weise weiter.
>
> Als Tipp habe ich erhalten, ich solle die Formel 2sinxsiny
> = cos(x-y)-cos(x+y) verwenden und sin(a + [mm]n\delta)[/mm] =
> [mm](1/2sin(\delta/2))*2sin(a+n\delta)sin(\delta/2)[/mm]
> umschreiben.
>
> Wenn ich jetzt den zweiten Tipp umsetze (und direkt danach
> den ersten):
>
> [mm]\bruch{b-a}{n} \summe_{i=1}^{n}((sin(a[/mm] + [mm]i\delta_n))[/mm] =
> [mm]\bruch{b-a}{n}\summe_{i=1}^{n} (\bruch{1}{2sin(\bruch{\delta}{2})})*2sin(a[/mm]
> + [mm]i\delta)sin(\bruch{\delta}{2}))[/mm]
> = [mm]\bruch{b-a}{2nsin(\bruch{\delta}{2})}\summe_{i=1}^{n}[/mm]
> (cos(a + [mm]i\delta[/mm] - [mm]\bruch{\delta}{2})[/mm] - cos(a + [mm]i\delta[/mm] +
> [mm]\bruch{\delta}{2}))[/mm]
>
> Nach meinem Verständnis der Riemann'schen Summe müsste ich
> jetzt die Summe noch auflösen und n gegen unendlich laufen
> lassen... das Ergebnis wäre dann mein gesuchtes Integral.
Deine letzte Summe ist eine Teleskopsumme, also fallen bis auf den allerersten und allerletzten alle Terme gegeneinander weg:
Für i = 1: [mm] \cos(a+\delta-\bruch{\delta}{2}) - \cos(a+\delta+\bruch{\delta}{2}) [/mm]
Für i = 2: [mm] \cos(a+2\delta-\bruch{\delta}{2}) - \cos(a+2\delta+\bruch{\delta}{2}) [/mm]
Der zweite Term der ersten Zeile hebt sich gegen den ersten Term der zweiten Zeile weg usw.
Viele Grüße
Rainer
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