Riemann integrierbar < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:35 Mo 12.03.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Wir haben in der Vorlesung bewiesen, dass die Summe zweier R-integrierbarer Funktionen wieder Riemanintegrierbar ist.
Da hab ich mich gefragt ob die Summe zweier nicht R-integrierbarer
Funktionen R-integrierbar sein kann? |
Wenn es das gibt, wie finde ich ein einfaches Bsp, um das zu zeigen??
Wir haben z.B schon gezeigt, dass die Dirichletfunktion nicht Riemann-Integrierbar ist.
Frage:
Ist eigentlich das Produkt zweier Dirichletfunktion Riemann-Integrierbar??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:43 Mo 12.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Wir haben in der Vorlesung bewiesen, dass die Summe zweier
> R-integrierbarer Funktionen wieder Riemanintegrierbar ist.
> Da hab ich mich gefragt ob die Summe zweier nicht
> R-integrierbarer
> Funktionen R-integrierbar sein kann?
>
> Wenn es das gibt, wie finde ich ein einfaches Bsp, um das
> zu zeigen??
>
> Wir haben z.B schon gezeigt, dass die Dirichletfunktion
> nicht Riemann-Integrierbar ist.
Dann nimm die doch ! Nennen wir sie f. Setze g:=-f. Dann sind f und g nicht R-integrierbar, aber f+g ist R-integrierbar
>
> Frage:
> Ist eigentlich das Produkt zweier Dirichletfunktion
> Riemann-Integrierbar??
Ist f wie oben so ist [mm] f^2=f [/mm] nicht R-integrierbar
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:17 Mo 12.03.2012 | | Autor: | quasimo |
> Dann nimm die doch ! Nennen wir sie f. Setze g:=-f. Dann sind f und g nicht R-integrierbar, aber f+g ist R-integrierbar
f + g = f - f =0
0-Funktion, bildet alle Elemente auf 0 ab.
Eine Funktion ist Riemann-integrierbar, falls das Oberintegral von f+g gleich dem Unterintegral von f+g ist. Und das ist hier ja jeweils 0.
Kann man das so sagen? Oder schreibt man das anders auf?
Frage: Kann das produkt zweier nicht R- integrierbaren Funktionen auch R-Integrierbar sein??
Weil ich kenne bis jetzt nur die Dirichletfunktion, die nicht R-integrierbar ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:56 Mo 12.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> > Dann nimm die doch ! Nennen wir sie f. Setze g:=-f. Dann
> sind f und g nicht R-integrierbar, aber f+g ist
> R-integrierbar
>
> f + g = f - f =0
> 0-Funktion, bildet alle Elemente auf 0 ab.
> Eine Funktion ist Riemann-integrierbar, falls das
> Oberintegral von f+g gleich dem Unterintegral von f+g ist.
> Und das ist hier ja jeweils 0.
> Kann man das so sagen? Oder schreibt man das anders auf?
Ist f eine auf [a,b] konstante Funktion, etwa f(x)=c für alle x [mm] \in [/mm] [a,b], so gilt doch für jede Zerlegung Z von [a,b]:
[mm] U_f(Z)=c(b-a) [/mm] (Untersumme von f bezgl. Z)
und
[mm] O_f(Z)=c(b-a) [/mm] (Obersumme von f bezgl. Z)
Dann ist doch
oberes Integral= unteres Integral =c(b-a).
>
> Frage: Kann das produkt zweier nicht R- integrierbaren
> Funktionen auch R-Integrierbar sein??
Ja
Sei
f(x)=1 , falls x [mm] \in \IQ \cap [/mm] [0,1] und f(x)=0, falls x [mm] \in [/mm] [0,1] [mm] \setminus \IQ
[/mm]
f ist die Dirichlet-Funktion.
Setze
g(x):=1-f(x).
Dann sind f und g nicht R-intbar (warum ist g nicht R -intbar ?) und es ist fg konstant =0
FRED
> Weil ich kenne bis jetzt nur die Dirichletfunktion, die
> nicht R-integrierbar ist.
>
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