Riemann Summe von e^x < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:12 Fr 04.03.2011 | | Autor: | Kato |
| Aufgabe | Das gegebene Integral soll durch Betrachtung einer Riemannschen Summe berechnet werden:
[mm] \integral_{a}^{b}{e^x dx} [/mm] |
Hallo liebe Mathefreunde,
ich bin bei dieser Aufgabe schon recht weit gekommen, nur hänge ich jetzt am Limes fest. Hier mal mein Rechenweg:
[mm] I_n = [a,b] = \bigcup_{k=0}^{n-1} \left[a+\frac{k(b-a)}{n},a+\frac{(k+1)(b-a)}{n} \right] [/mm]
Feinheit: [mm] \delta (I_n) = \frac{b-a}{n} [/mm]
[mm] \integral_{a}^{b}{e^x dx} = \limes_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{b-a}{n} \summe_{k=0}^{n-1} e^{a+\frac{k(b-a)}{n}} \right) [/mm]
[mm] \qquad = \limes_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{b-a}{n} e^a \summe_{k=0}^{n-1} e^{\frac{k(b-a)}{n}} \right) [/mm]
[mm] \qquad = \limes_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{b-a}{n} e^a \summe_{k=0}^{n-1} e^{\left( \frac{b-a}{n}\right)^k} \right) [/mm]
[mm] \qquad = \limes_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{b-a}{n} e^a \frac{1-e^{\left( \frac{b-a}{n}\right)^n}}{1-e^{\frac{b-a}{n}} \right) [/mm]
[mm] \qquad = \limes_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{b-a}{n} e^a \frac{1-e^{b-a}}{1-e^{\frac{b-a}{n}}} \right) [/mm]
[mm] \qquad = \limes_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{b-a}{n} \frac{e^a-e^b}{1-e^{\frac{b-a}{n}}} \right) [/mm]
bzw.: [mm] = \limes_{n\rightarrow\infty} \left( \frac{b-a}{n} \frac{e^b-e^a}{e^{\frac{b-a}{n}}-1} \right) [/mm]
Betrachte ich jetzt mal den Nenner des zweiten Bruchs [mm]e^{\frac{b-a}{n}}-1[/mm] dann geht der ja für [mm]n \rightarrow \infty [/mm] gegen 0. Das fühlt sich für mich ein wenig, wie der Differentialquotient an. Nur leider ist das eine Vermutung, mit der ich gerade nicht viel anfangen kann.
Das am Ende [mm] e^b-e^a [/mm] raus kommen soll, kann man ja mit Stammfunktionen leicht herausfinden. Ich weiß jetzt eben nicht, wie ich diesen Limes berechnen soll und hoffe jetzt auf eure Hinweise.
Liebe Grüße
Kato
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Huhu kato,
betrachten wir mal nur den Nenner, also:
[mm] $n*\left(e^{\bruch{b-a}{n}} - 1 \right) [/mm] = [mm] n*\left(\summe_{k=0}^\infty \bruch{\left(\bruch{b-a}{n}\right)^k}{k!} - 1\right) [/mm] = [mm] n*\summe_{k=1}^\infty \bruch{\left(\bruch{b-a}{n}\right)^k}{k!} [/mm] = [mm] (b-a)*\summe_{k=1}^\infty \bruch{\left(\bruch{b-a}{n}\right)^{k-1}}{k!} [/mm] = [mm] (b-a)*\left(1 + \summe_{k=2}^\infty \bruch{\left(\bruch{b-a}{n}\right)^{k-1}}{k!}\right) [/mm] $
Mit [mm] $\summe_{k=2}^\infty \bruch{\left(\bruch{b-a}{n}\right)^{k-1}}{k!} \to [/mm] 0$ für $n [mm] \to \infty$
[/mm]
Mir fällt aber gerade auf, dass dein Hinweis selbst schonecht prima war, also:
> Das fühlt sich für mich ein wenig, wie der Differentialquotient an.
Es gilt nämlich:
[mm] $\bruch{n}{b-a}*\left(e^{\bruch{b-a}{n}} - 1 \right) [/mm] = [mm] \bruch{e^{\bruch{b-a}{n}} - 1}{\bruch{b-a}{n}} [/mm] = [mm] \bruch{e^{\bruch{b-a}{n}} - e^0}{\bruch{b-a}{n} - 0}$
[/mm]
Und wenn du da jetzt scharf draufguckst, erkennst du dort den Differenzenquotienten von [mm] e^x [/mm] in 0 mit $h := [mm] \bruch{b-a}{n}$, [/mm] d.h. das geht für [mm] $n\to \infty$ [/mm] wogegen?
Die Lösung ist sogar noch schöner als mein erster Gedanke 
MFG,
Gono.
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